Cálculo Exemplos

$f (x) = e^{3 x + 1}$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int e^{3 x + 1} d x$

Etapa 3

Deixe $u = 3 x + 1$ . Depois, $d u = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = 3 x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $3 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Etapa 3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Etapa 3.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 + 0$

Etapa 3.1.4.2

Some $3$ e $0$ .

$3$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Etapa 4

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{e^{u}}{3} d u$

Etapa 5

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int e^{u} d u$

Etapa 6

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u} + C)$

Etapa 7

Simplifique.

$\frac{1}{3} e^{u} + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x + 1$ .

$\frac{1}{3} e^{3 x + 1} + C$

Etapa 9

A resposta é a primitiva da função $f (x) = e^{3 x + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} e^{3 x + 1} + C$