Cálculo Exemplos

$f (t) = \frac{2 t - 4 + 4 \sqrt{t}}{\sqrt{t}}$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (t)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (t)$ .

$F (t) = \int f (t) d t$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (t) = \int \frac{2 t - 4 + 4 \sqrt{t}}{\sqrt{t}} d t$

Etapa 3

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{2 t - 4 + 4 t^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{t}} d t$

Etapa 4

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{2 t - 4 + 4 t^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Etapa 5

Mova $t^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int (2 t - 4 + 4 t^{\frac{1}{2}}) {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d t$

Etapa 6

Multiplique os expoentes em ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 t - 4 + 4 t^{\frac{1}{2}}) t^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d t$

Etapa 6.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int (2 t - 4 + 4 t^{\frac{1}{2}}) t^{\frac{- 1}{2}} d t$

Etapa 6.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int (2 t - 4 + 4 t^{\frac{1}{2}}) t^{- \frac{1}{2}} d t$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (2 t - 4) t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int 2 t \cdot t^{- \frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Etapa 7.3

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\int 2 (t^{1} t^{- \frac{1}{2}}) - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Etapa 7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 2 t^{1 - \frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Etapa 7.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int 2 t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Etapa 7.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int 2 t^{\frac{2 - 1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Etapa 7.7

Subtraia $1$ de $2$ .

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Etapa 7.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} d t$

Etapa 7.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1 - 1}{2}} d t$

Etapa 7.10

Subtraia $1$ de $1$ .

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{0}{2}} d t$

Etapa 7.11

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

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Etapa 7.11.1

Fatore $2$ de $0$ .

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{2 (0)}{2}} d t$

Etapa 7.11.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.11.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}} d t$

Etapa 7.11.2.2

Cancele o fator comum.

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}} d t$

Etapa 7.11.2.3

Reescreva a expressão.

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{0}{1}} d t$

Etapa 7.11.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{0} d t$

Etapa 7.12

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 1 d t$

Etapa 7.13

Multiplique $4$ por $1$ .

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 d t$

Etapa 8

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} d t + \int - 4 t^{- \frac{1}{2}} d t + \int 4 d t$

Etapa 9

Como $2$ é constante com relação a $t$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int - 4 t^{- \frac{1}{2}} d t + \int 4 d t$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t^{\frac{1}{2}}$ com relação a $t$ é $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + \int - 4 t^{- \frac{1}{2}} d t + \int 4 d t$

Etapa 11

Como $- 4$ é constante com relação a $t$ , mova $- 4$ para fora da integral.

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) - 4 \int t^{- \frac{1}{2}} d t + \int 4 d t$

Etapa 12

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $t$ é $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) - 4 (2 t^{\frac{1}{2}} + C) + \int 4 d t$

Etapa 13

Aplique a regra da constante.

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) - 4 (2 t^{\frac{1}{2}} + C) + 4 t + C$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $t^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - 4 (2 t^{\frac{1}{2}} + C) + 4 t + C$

Etapa 14.2

Simplifique.

$\frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} - 8 t^{\frac{1}{2}} + 4 t + C$

Etapa 14.3

Reordene os termos.

$\frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} - 8 t^{\frac{1}{2}} + 4 t + C$

Etapa 15

A resposta é a primitiva da função $f (t) = \frac{2 t - 4 + 4 \sqrt{t}}{\sqrt{t}}$ .

$F (t) =$ $\frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} - 8 t^{\frac{1}{2}} + 4 t + C$