Cálculo Exemplos

$y = \arcsin (\tan (x^{3}))$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arcsin (\tan (x^{3})))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arcsin (x)$ e $g (x) = \tan (x^{3})$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\tan (x^{3})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (x^{3})]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\arcsin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\tan (x^{3})]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\tan (x^{3})$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}} \frac{d}{d x} [\tan (x^{3})]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = x^{3}$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{3}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}} (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\tan (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}} (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{3}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}} (\sec^{2} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 3.3.1

Combine $\sec^{2} (x^{3})$ e $\frac{1}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}}$ .

$\frac{\sec^{2} (x^{3})}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{\sec^{2} (x^{3})}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}} (3 x^{2})$

Etapa 3.3.3

Combine frações.

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Etapa 3.3.3.1

Combine $3$ e $\frac{\sec^{2} (x^{3})}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}}$ .

$\frac{3 \sec^{2} (x^{3})}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}} x^{2}$

Etapa 3.3.3.2

Combine $\frac{3 \sec^{2} (x^{3})}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 \sec^{2} (x^{3}) x^{2}}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}}$

Etapa 3.3.3.3

Reordene os fatores em $3 \sec^{2} (x^{3}) x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} \sec^{2} (x^{3})}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{3 x^{2} \sec^{2} (x^{3})}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} \sec^{2} (x^{3})}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}}$