Cálculo Exemplos

$\ln (1 - x)$

Etapa 1

Escreva $\ln (1 - x)$ como uma função.

$f (x) = \ln (1 - x)$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \ln (1 - x) d x$

Etapa 4

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (1 - x)$ e $d v = 1$ .

$\ln (1 - x) x - \int x (- \frac{1}{1 - x}) d x$

Etapa 5

Combine $x$ e $\frac{1}{1 - x}$ .

$\ln (1 - x) x - \int - \frac{x}{1 - x} d x$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (1 - x) x - - \int \frac{x}{1 - x} d x$

Etapa 7

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.1

Simplifique.

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Etapa 7.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\ln (1 - x) x + 1 \int \frac{x}{1 - x} d x$

Etapa 7.1.2

Multiplique $\int \frac{x}{1 - x} d x$ por $1$ .

$\ln (1 - x) x + \int \frac{x}{1 - x} d x$

Etapa 7.2

Reordene $1$ e $- x$ .

$\ln (1 - x) x + \int \frac{x}{- x + 1} d x$

Etapa 8

Divida $x$ por $- x + 1$ .

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Etapa 8.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Etapa 8.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $- x$ .

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Etapa 8.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				+	$x$	-	$1$

Etapa 8.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x - 1$ .

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$

Etapa 8.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$
						+	$1$

Etapa 8.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\ln (1 - x) x + \int - 1 + \frac{1}{- x + 1} d x$

Etapa 9

Divida a integral única em várias integrais.

$\ln (1 - x) x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

Etapa 10

Aplique a regra da constante.

$\ln (1 - x) x - x + C + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

Etapa 11

Deixe $u = - x + 1$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 11.1

Deixe $u = - x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 11.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 11.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 11.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (1 - x) x - x + C + \int \frac{- 1}{u} d u$

Etapa 12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (1 - x) x - x + C + \int - \frac{1}{u} d u$

Etapa 13

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (1 - x) x - x + C - \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 14

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (1 - x) x - x + C - (\ln (| u |) + C)$

Etapa 15

Simplifique.

$\ln (1 - x) x - x - \ln (| u |) + C$

Etapa 16

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x + 1$ .

$\ln (1 - x) x - x - \ln (| - x + 1 |) + C$

Etapa 17

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \ln (1 - x)$ .

$F (x) =$ $\ln (1 - x) x - x - \ln (| - x + 1 |) + C$