Cálculo Exemplos

$\int \frac{\sin (\sqrt{3 x})}{\sqrt{3 x}} d x$

Etapa 1

Deixe $u_{1} = 3 x$ . Depois, $d u_{1} = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{1} = 3 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 1.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique $\frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}} \cdot 3} d u_{1}$

Etapa 2.2

Mova $3$ para a esquerda de $\sqrt{u_{1}}$ .

$\int \frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{3 \sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

Etapa 3

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

Etapa 4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{\sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

Etapa 4.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{\sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$

Etapa 4.3

Mova ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{3} \int \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1}$

Etapa 4.4

Multiplique os expoentes em ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \int \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1}$

Etapa 4.4.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1}$

Etapa 4.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{3} \int \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1}$

Etapa 5

Deixe $u_{2} = {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ . Depois, $d u_{2} = \frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ , então, $- d u_{2} = \frac{- 1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u_{2} = {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 5.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1}$

Etapa 5.1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Etapa 5.1.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 5.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 5.1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1 - 2}{2}}$

Etapa 5.1.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}}$

Etapa 5.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 5.1.8

Simplifique.

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Etapa 5.1.8.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.1.8.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \int 2 \sin (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 6

Como $2$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $2$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} (2 \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

Etapa 7

Combine $2$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 8

A integral de $\sin (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{2}{3} (- \cos (u_{2}) + C)$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Simplifique.

$\frac{2}{3} (- \cos (u_{2})) + C$

Etapa 9.2

Combine $\frac{2}{3}$ e $\cos (u_{2})$ .

$- \frac{2 \cos (u_{2})}{3} + C$

Etapa 10

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 10.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

Etapa 10.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 x$ .

$- \frac{2 \cos ({(3 x)}^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Aplique a regra do produto a $3 x$ .

$- \frac{2 \cos (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

Etapa 11.2

Reordene os termos.

$- \frac{2}{3} \cos (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + C$