Cálculo Exemplos

$\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}}$

Etapa 1

Escreva $\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}}$ como uma função.

$f (x) = \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}} d x$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Fatore $x$ de $2 x^{4} + 4 x^{3} - x$ .

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Etapa 4.1.1

Fatore $x$ de $2 x^{4}$ .

$\int \frac{x (2 x^{3}) + 4 x^{3} - x}{x^{3}} d x$

Etapa 4.1.2

Fatore $x$ de $4 x^{3}$ .

$\int \frac{x (2 x^{3}) + x (4 x^{2}) - x}{x^{3}} d x$

Etapa 4.1.3

Fatore $x$ de $- x$ .

$\int \frac{x (2 x^{3}) + x (4 x^{2}) + x \cdot - 1}{x^{3}} d x$

Etapa 4.1.4

Fatore $x$ de $x (2 x^{3}) + x (4 x^{2})$ .

$\int \frac{x (2 x^{3} + 4 x^{2}) + x \cdot - 1}{x^{3}} d x$

Etapa 4.1.5

Fatore $x$ de $x (2 x^{3} + 4 x^{2}) + x \cdot - 1$ .

$\int \frac{x (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1)}{x^{3}} d x$

Etapa 4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.2.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\int \frac{x (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1)}{x \cdot x^{2}} d x$

Etapa 4.2.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{x (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1)}{x \cdot x^{2}} d x$

Etapa 4.2.3

Reescreva a expressão.

$\int \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 1}{x^{2}} d x$

Etapa 5

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 5.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 5.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 5.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1) x^{- 2} d x$

Etapa 6

Expanda $(2 x^{3} + 4 x^{2} - 1) x^{- 2}$ .

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (2 x^{3} + 4 x^{2}) x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int 2 x^{3} x^{- 2} + 4 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Etapa 6.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 2 x^{3 - 2} + 4 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Etapa 6.4

Subtraia $2$ de $3$ .

$\int 2 x^{1} + 4 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Etapa 6.5

Simplifique.

$\int 2 x + 4 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Etapa 6.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 2 x + 4 x^{2 - 2} - 1 x^{- 2} d x$

Etapa 6.7

Subtraia $2$ de $2$ .

$\int 2 x + 4 x^{0} - 1 x^{- 2} d x$

Etapa 6.8

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\int 2 x + 4 \cdot 1 - 1 x^{- 2} d x$

Etapa 6.9

Multiplique $4$ por $1$ .

$\int 2 x + 4 - 1 x^{- 2} d x$

Etapa 6.10

Mova $4$ .

$\int 2 x - 1 x^{- 2} + 4 d x$

Etapa 7

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 2 x d x + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Etapa 8

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int x d x + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Etapa 10

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (- x^{- 1} + C) + \int 4 d x$

Etapa 12

Aplique a regra da constante.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (- x^{- 1} + C) + 4 x + C$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - (- x^{- 1} + C) + 4 x + C$

Etapa 13.2

Simplifique.

$x^{2} + \frac{1}{x} + 4 x + C$

Etapa 14

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}}$ .

$F (x) =$ $x^{2} + \frac{1}{x} + 4 x + C$