Cálculo Exemplos

$e^{2 x} + \frac{2}{x}$

Etapa 1

Escreva $e^{2 x} + \frac{2}{x}$ como uma função.

$f (x) = e^{2 x} + \frac{2}{x}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int e^{2 x} + \frac{2}{x} d x$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int e^{2 x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Etapa 5

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 5.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 5.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int \frac{2}{x} d x$

Etapa 6

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u + \int \frac{2}{x} d x$

Etapa 7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int \frac{2}{x} d x$

Etapa 8

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + \int \frac{2}{x} d x$

Etapa 9

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 10

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 11

Simplifique.

$\frac{1}{2} e^{u} + 2 \ln (| x |) + C$

Etapa 12

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 \ln (| x |) + C$

Etapa 13

A resposta é a primitiva da função $f (x) = e^{2 x} + \frac{2}{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 \ln (| x |) + C$