Cálculo Exemplos

$y = \tan (x \sin (x))$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\tan (x \sin (x)))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = x \sin (x)$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x \sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\tan (u)$ em relação a $u$ é $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x \sin (x)$ .

$\sec^{2} (x \sin (x)) \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$\sec^{2} (x \sin (x)) (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\sec^{2} (x \sin (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 3.4.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\sec^{2} (x \sin (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1)$

Etapa 3.4.2

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\sec^{2} (x \sin (x)) (x \cos (x) + \sin (x))$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\sec^{2} (x \sin (x)) (x \cos (x)) + \sec^{2} (x \sin (x)) \sin (x)$

Etapa 3.5.2

Reordene os termos.

$x \sec^{2} (x \sin (x)) \cos (x) + \sec^{2} (x \sin (x)) \sin (x)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = x \sec^{2} (x \sin (x)) \cos (x) + \sec^{2} (x \sin (x)) \sin (x)$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x \sec^{2} (x \sin (x)) \cos (x) + \sec^{2} (x \sin (x)) \sin (x)$