Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{4} (5 x^{2} + \sqrt{x}) d x$

Etapa 1

Remova os parênteses.

$\int_{1}^{4} 5 x^{2} + \sqrt{x} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{1}^{4} 5 x^{2} d x + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

Etapa 3

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$5 \int_{1}^{4} x^{2} d x + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

Etapa 5

Combine frações.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

Etapa 5.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

Etapa 7

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $4$ e em $1$ .

$5 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

Etapa 7.2

Avalie $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ em $4$ e em $1$ .

$5 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.3

Simplifique.

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Etapa 7.3.1

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$5 (\frac{64}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$5 (\frac{64}{3} - \frac{1}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$5 \frac{64 - 1}{3} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.3.4

Subtraia $1$ de $64$ .

$5 (\frac{63}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.3.5

Cancele o fator comum de $63$ e $3$ .

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Etapa 7.3.5.1

Fatore $3$ de $63$ .

$5 \frac{3 \cdot 21}{3} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.3.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.3.5.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$5 \frac{3 \cdot 21}{3 (1)} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$5 \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$5 (\frac{21}{1}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.3.5.2.4

Divida $21$ por $1$ .

$5 \cdot 21 + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.3.6

Multiplique $5$ por $21$ .

$105 + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.3.7

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$105 + \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.3.8

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$105 + \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.3.9

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.3.9.1

Cancele o fator comum.

$105 + \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.3.9.2

Reescreva a expressão.

$105 + \frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.3.10

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$105 + \frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.3.11

Combine $\frac{2}{3}$ e $8$ .

$105 + \frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.3.12

Multiplique $2$ por $8$ .

$105 + \frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.3.13

Um elevado a qualquer potência é um.

$105 + \frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Etapa 7.3.14

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$105 + \frac{16}{3} - \frac{2}{3}$

Etapa 7.3.15

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$105 + \frac{16 - 2}{3}$

Etapa 7.3.16

Subtraia $2$ de $16$ .

$105 + \frac{14}{3}$

Etapa 7.3.17

Para escrever $105$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$105 \cdot \frac{3}{3} + \frac{14}{3}$

Etapa 7.3.18

Combine $105$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{105 \cdot 3}{3} + \frac{14}{3}$

Etapa 7.3.19

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{105 \cdot 3 + 14}{3}$

Etapa 7.3.20

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.3.20.1

Multiplique $105$ por $3$ .

$\frac{315 + 14}{3}$

Etapa 7.3.20.2

Some $315$ e $14$ .

$\frac{329}{3}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{329}{3}$

Forma decimal:

$109.\overline{6}$

Forma de número misto:

$109 \frac{2}{3}$

Etapa 9