Cálculo Exemplos

$\ln (e^{x} + x)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = e^{x} + x$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $e^{x} + x$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + x]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + x]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $e^{x} + x$ .

$\frac{1}{e^{x} + x} \frac{d}{d x} [e^{x} + x]$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{e^{x} + x} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + 1)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + 1)$ .

$(e^{x} + 1) \frac{1}{e^{x} + x}$

Etapa 5.2

Multiplique $e^{x} + 1$ por $\frac{1}{e^{x} + x}$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$