Cálculo Exemplos

$e^{y} = \frac{x^{2}}{y}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (e^{y}) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{y})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$e^{y} y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$\frac{y \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{y (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 3.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{2 \cdot y x - x^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Etapa 3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Reordene os termos.

$\frac{2 x y - x^{2} y'}{y^{2}}$

Etapa 3.4.2

Fatore $x$ de $2 x y - x^{2} y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Fatore $x$ de $2 x y$ .

$\frac{x (2 y) - x^{2} y'}{y^{2}}$

Etapa 3.4.2.2

Fatore $x$ de $- x^{2} y'$ .

$\frac{x (2 y) + x (- x y')}{y^{2}}$

Etapa 3.4.2.3

Fatore $x$ de $x (2 y) + x (- x y')$ .

$\frac{x (2 y - x y')}{y^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$e^{y} y' = \frac{x (2 y - x y')}{y^{2}}$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique os dois lados por $y^{2}$ .

$e^{y} y' y^{2} = \frac{x (2 y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

Etapa 5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Reordene os fatores em $e^{y} y' y^{2}$ .

$y' y^{2} e^{y} = \frac{x (2 y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Simplifique $\frac{x (2 y - x y')}{y^{2}} y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y' y^{2} e^{y} = \frac{x (2 y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

Etapa 5.2.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y' y^{2} e^{y} = x (2 y - x y')$

Etapa 5.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y' y^{2} e^{y} = x (2 y) + x (- x y')$

Etapa 5.2.2.1.3

Reordene.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y' y^{2} e^{y} = 2 x y + x (- x y')$

Etapa 5.2.2.1.3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y' y^{2} e^{y} = 2 x y - x (x y')$

Etapa 5.2.2.1.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.4.1

Mova $x$ .

$y' y^{2} e^{y} = 2 x y - (x \cdot x) y'$

Etapa 5.2.2.1.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y' y^{2} e^{y} = 2 x y - x^{2} y'$

Etapa 5.2.2.1.5

Mova $x^{2}$ .

$y' y^{2} e^{y} = 2 x y - y' x^{2}$

Etapa 5.2.2.1.6

Reordene $2 x y$ e $- y' x^{2}$ .

$y' y^{2} e^{y} = - y' x^{2} + 2 x y$

Etapa 5.3

Resolva $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Some $y' x^{2}$ aos dois lados da equação.

$y' y^{2} e^{y} + y' x^{2} = 2 x y$

Etapa 5.3.2

Fatore $y'$ de $y' y^{2} e^{y} + y' x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Fatore $y'$ de $y' y^{2} e^{y}$ .

$y' (y^{2} e^{y}) + y' (x^{2}) = 2 x y$

Etapa 5.3.2.2

Fatore $y'$ de $y' x^{2}$ .

$y' (y^{2} e^{y}) + y' (x^{2}) = 2 x y$

Etapa 5.3.2.3

Fatore $y'$ de $y' (y^{2} e^{y}) + y' (x^{2})$ .

$y' (y^{2} e^{y} + x^{2}) = 2 x y$

Etapa 5.3.3

Divida cada termo em $y' (y^{2} e^{y} + x^{2}) = 2 x y$ por $y^{2} e^{y} + x^{2}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Divida cada termo em $y' (y^{2} e^{y} + x^{2}) = 2 x y$ por $y^{2} e^{y} + x^{2}$ .

$\frac{y' (y^{2} e^{y} + x^{2})}{y^{2} e^{y} + x^{2}} = \frac{2 x y}{y^{2} e^{y} + x^{2}}$

Etapa 5.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $y^{2} e^{y} + x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (y^{2} e^{y} + x^{2})}{y^{2} e^{y} + x^{2}} = \frac{2 x y}{y^{2} e^{y} + x^{2}}$

Etapa 5.3.3.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 x y}{y^{2} e^{y} + x^{2}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{y^{2} e^{y} + x^{2}}$