Cálculo Exemplos

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (t)}{\ln (2 e^{t} - 1)}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{t \to 0} \sin (t)}{lim_{t \to 0} \ln (2 e^{t} - 1)}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\sin (lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} \ln (2 e^{t} - 1)}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $t$ substituindo $0$ por $t$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{t \to 0} \ln (2 e^{t} - 1)}$

Etapa 1.1.2.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} \ln (2 e^{t} - 1)}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{0}{\ln (lim_{t \to 0} 2 e^{t} - 1)}$

Etapa 1.1.3.1.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{t \to 0} 2 e^{t} - lim_{t \to 0} 1)}$

Etapa 1.1.3.1.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$\frac{0}{\ln (2 lim_{t \to 0} e^{t} - lim_{t \to 0} 1)}$

Etapa 1.1.3.1.4

Mova o limite para o expoente.

$\frac{0}{\ln (2 e^{lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 1)}$

Etapa 1.1.3.1.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{\ln (2 e^{lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 1)}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $t$ substituindo $0$ por $t$ .

$\frac{0}{\ln (2 e^{0} - 1 \cdot 1)}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.3.1.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{0}{\ln (2 \cdot 1 - 1 \cdot 1)}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{0}{\ln (2 - 1 \cdot 1)}$

Etapa 1.1.3.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{\ln (2 - 1)}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Etapa 1.1.3.3.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (t)}{\ln (2 e^{t} - 1)} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}{\frac{d}{d t} [\ln (2 e^{t} - 1)]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}{\frac{d}{d t} [\ln (2 e^{t} - 1)]}$

Etapa 1.3.2

A derivada de $\sin (t)$ em relação a $t$ é $\cos (t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{d}{d t} [\ln (2 e^{t} - 1)]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \ln (t)$ e $g (t) = 2 e^{t} - 1$ .

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Etapa 1.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 e^{t} - 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]}$

Etapa 1.3.3.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]}$

Etapa 1.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 e^{t} - 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{2 e^{t} - 1} \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]}$

Etapa 1.3.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 e^{t} - 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [2 e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{2 e^{t} - 1} (\frac{d}{d t} [2 e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1])}$

Etapa 1.3.5

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 e^{t}$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 \frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1])}$

Etapa 1.3.6

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ é $a^{t} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t} + \frac{d}{d t} [- 1])}$

Etapa 1.3.7

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 1$ em relação a $t$ é $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t} + 0)}$

Etapa 1.3.8

Some $2 e^{t}$ e $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t})}$

Etapa 1.3.9

Combine $2$ e $\frac{1}{2 e^{t} - 1}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{2}{2 e^{t} - 1} e^{t}}$

Etapa 1.3.10

Combine $\frac{2}{2 e^{t} - 1}$ e $e^{t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{2 e^{t}}{2 e^{t} - 1}}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{t \to 0} \cos (t) \frac{2 e^{t} - 1}{2 e^{t}}$

Etapa 1.5

Combine $\cos (t)$ e $\frac{2 e^{t} - 1}{2 e^{t}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t) (2 e^{t} - 1)}{2 e^{t}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 0} \frac{\cos (t) (2 e^{t} - 1)}{e^{t}}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{t \to 0} \cos (t) (2 e^{t} - 1)}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{t \to 0} \cos (t) \cdot lim_{t \to 0} 2 e^{t} - 1}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

Etapa 2.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t) \cdot lim_{t \to 0} 2 e^{t} - 1}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

Etapa 2.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t) \cdot (lim_{t \to 0} 2 e^{t} - lim_{t \to 0} 1)}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

Etapa 2.6

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t) \cdot (2 lim_{t \to 0} e^{t} - lim_{t \to 0} 1)}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

Etapa 2.7

Mova o limite para o expoente.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t) \cdot (2 e^{lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 1)}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

Etapa 2.8

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t) \cdot (2 e^{lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 1)}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

Etapa 2.9

Mova o limite para o expoente.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t) \cdot (2 e^{lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 1)}{e^{lim_{t \to 0} t}}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $t$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $t$ substituindo $0$ por $t$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0) \cdot (2 e^{lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 1)}{e^{lim_{t \to 0} t}}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $t$ substituindo $0$ por $t$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0) \cdot (2 e^{0} - 1 \cdot 1)}{e^{lim_{t \to 0} t}}$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $t$ substituindo $0$ por $t$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0) \cdot (2 e^{0} - 1 \cdot 1)}{e^{0}}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Combine.

$\frac{1 (\cos (0) \cdot (2 e^{0} - 1 \cdot 1))}{2 e^{0}}$

Etapa 4.2

Multiplique $\cos (0)$ por $1$ .

$\frac{\cos (0) (2 e^{0} - 1 \cdot 1)}{2 e^{0}}$

Etapa 4.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{\cos (0) (2 e^{0} - 1 \cdot 1)}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.4.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{\cos (0) (2 \cdot 1 - 1 \cdot 1)}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\cos (0) (2 - 1 \cdot 1)}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\cos (0) (2 - 1)}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{\cos (0) \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.5

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.6

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{1}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$