Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{2}}{e^{4 x} - 4 x - 1}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 4 x^{2}}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 4 x - 1}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 4 x - 1}$

Etapa 1.2.1.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 4 x - 1}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{4 \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 4 x - 1}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 4 x - 1}$

Etapa 1.2.3.2

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 4 x - 1}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - lim_{x \to 0} 4 x - lim_{x \to 0} 1}$

Etapa 1.3.2

Mova o limite para o expoente.

$\frac{0}{e^{lim_{x \to 0} 4 x} - lim_{x \to 0} 4 x - lim_{x \to 0} 1}$

Etapa 1.3.3

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{e^{4 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 4 x - lim_{x \to 0} 1}$

Etapa 1.3.4

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{e^{4 lim_{x \to 0} x} - 4 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1}$

Etapa 1.3.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{e^{4 lim_{x \to 0} x} - 4 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.3.6

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{e^{4 \cdot 0} - 4 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.3.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{e^{4 \cdot 0} - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.3.7

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.1.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{0}{e^{0} - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.3.7.1.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{0}{1 - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.3.7.1.3

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$\frac{0}{1 + 0 - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.3.7.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 + 0 - 1}$

Etapa 1.3.7.2

Some $1$ e $0$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Etapa 1.3.7.3

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.7.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.8

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{2}}{e^{4 x} - 4 x - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 4 x - 1]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 4 x - 1]}$

Etapa 3.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 4 x - 1]}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 x)}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 4 x - 1]}$

Etapa 3.4

Multiplique $2$ por $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 4 x - 1]}$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{4 x} - 4 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.6

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.6.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.6.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.6.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.6.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.6.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.6.5

Mova $4$ para a esquerda de $e^{4 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{4 e^{4 x} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{4 e^{4 x} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.7.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{4 e^{4 x} - 4 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.8

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{4 e^{4 x} - 4 + 0}$

Etapa 3.9

Some $4 e^{4 x} - 4$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{4 e^{4 x} - 4}$

Etapa 4

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Cancele o fator comum de $8$ e $4 e^{4 x} - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Fatore $4$ de $8 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 x)}{4 e^{4 x} - 4}$

Etapa 4.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Fatore $4$ de $4 e^{4 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 x)}{4 (e^{4 x}) - 4}$

Etapa 4.1.2.2

Fatore $4$ de $- 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 x)}{4 (e^{4 x}) + 4 (- 1)}$

Etapa 4.1.2.3

Fatore $4$ de $4 (e^{4 x}) + 4 (- 1)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 x)}{4 (e^{4 x} - 1)}$

Etapa 4.1.2.4

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 x)}{4 (e^{4 x} - 1)}$

Etapa 4.1.2.5

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{e^{4 x} - 1}$

Etapa 4.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{x}{e^{4 x} - 1}$

Etapa 5

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 1}$

Etapa 5.1.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 1}$

Etapa 5.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - lim_{x \to 0} 1}$

Etapa 5.1.3.1.2

Mova o limite para o expoente.

$2 \frac{0}{e^{lim_{x \to 0} 4 x} - lim_{x \to 0} 1}$

Etapa 5.1.3.1.3

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 \frac{0}{e^{4 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

Etapa 5.1.3.1.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$2 \frac{0}{e^{4 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

Etapa 5.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$2 \frac{0}{e^{4 \cdot 0} - 1 \cdot 1}$

Etapa 5.1.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.3.1.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$2 \frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

Etapa 5.1.3.3.1.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$2 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 5.1.3.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 \frac{0}{1 - 1}$

Etapa 5.1.3.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Etapa 5.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$2 (\frac{0}{0})$

Etapa 5.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$2 (\frac{0}{0})$

Etapa 5.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$2 (\frac{0}{0})$

Etapa 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{x}{e^{4 x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 1]}$

Etapa 5.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 1]}$

Etapa 5.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 1]}$

Etapa 5.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{4 x} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 5.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 5.3.4.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 5.3.4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 5.3.4.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{e^{4 x} \cdot 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 5.3.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{e^{4 x} \cdot 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 5.3.4.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 5.3.4.5

Mova $4$ para a esquerda de $e^{4 x}$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 5.3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 e^{4 x} + 0}$

Etapa 5.3.6

Some $4 e^{4 x}$ e $0$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 e^{4 x}}$

Etapa 6

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Mova o termo $\frac{1}{4}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 (\frac{1}{4}) lim_{x \to 0} \frac{1}{e^{4 x}}$

Etapa 6.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$2 (\frac{1}{4}) \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} e^{4 x}}$

Etapa 6.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{lim_{x \to 0} e^{4 x}}$

Etapa 6.4

Mova o limite para o expoente.

$2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{e^{lim_{x \to 0} 4 x}}$

Etapa 6.5

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{e^{4 lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 7

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{e^{4 \cdot 0}}$

Etapa 8

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$2 \frac{1}{2 (2)} \frac{1}{e^{4 \cdot 0}}$

Etapa 8.1.2

Cancele o fator comum.

$2 \frac{1}{2 \cdot 2} \frac{1}{e^{4 \cdot 0}}$

Etapa 8.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e^{4 \cdot 0}}$

Etapa 8.2

Combine.

$\frac{1 \cdot 1}{2 e^{4 \cdot 0}}$

Etapa 8.3

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{1}{2 e^{4 \cdot 0}}$

Etapa 8.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{1}{2 e^{0}}$

Etapa 8.4.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$