Cálculo Exemplos

$lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} + 3 x}{4 (x + 3)}$

Etapa 1

Mova o termo $\frac{1}{4}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} + 3 x}{x + 3}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to - 3} x^{2} + 3 x}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to - 3} x^{2} + lim_{x \to - 3} 3 x}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Etapa 2.1.2.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + lim_{x \to - 3} 3 x}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Etapa 2.1.2.3

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 3} x}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Etapa 2.1.2.4

Avalie os limites substituindo $- 3$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 2.1.2.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 3$ por $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(- 3)}^{2} + 3 lim_{x \to - 3} x}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Etapa 2.1.2.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 3$ por $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(- 3)}^{2} + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Etapa 2.1.2.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.5.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{9 + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Etapa 2.1.2.5.1.2

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{9 - 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Etapa 2.1.2.5.2

Subtraia $9$ de $9$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 2.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 3}$

Etapa 2.1.3.1.2

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Etapa 2.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 3$ por $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{- 3 + 3}$

Etapa 2.1.3.3

Some $- 3$ e $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} + 3 x}{x + 3} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 3 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 3} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Etapa 2.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Etapa 2.3.4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Etapa 2.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Etapa 2.3.4.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Etapa 2.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]}$

Etapa 2.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3}{1 + \frac{d}{d x} [3]}$

Etapa 2.3.7

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3}{1 + 0}$

Etapa 2.3.8

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3}{1}$

Etapa 2.4

Divida $2 x + 3$ por $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 3} 2 x + 3$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{1}{4} (lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 3)$

Etapa 3.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{4} (2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 3)$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{1}{4} (2 lim_{x \to - 3} x + 3)$

Etapa 4

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 3$ por $x$ .

$\frac{1}{4} (2 \cdot - 3 + 3)$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$\frac{1}{4} (- 6 + 3)$

Etapa 5.2

Some $- 6$ e $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot - 3$

Etapa 5.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $- 3$ .

$\frac{- 3}{4}$

Etapa 5.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3}{4}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{3}{4}$

Forma decimal:

$- 0.75$