Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{42 - 3 x}}$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{\sqrt{42 - 3 x}} d x$

Etapa 3

Deixe $u = 42 - 3 x$ . Depois, $d u = - 3 d x$ , então, $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = 42 - 3 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $42 - 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [42 - 3 x]$

Etapa 3.1.2

Diferencie.

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Etapa 3.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $42 - 3 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [42] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [42] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Etapa 3.1.2.2

Como $42$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $42$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Etapa 3.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Etapa 3.1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 3 \cdot 1$

Etapa 3.1.3.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$0 - 3$

Etapa 3.1.4

Subtraia $3$ de $0$ .

$- 3$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 3} d u$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{3}) d u$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 3} d u$

Etapa 4.3

Mova $3$ para a esquerda de $\sqrt{u}$ .

$\int - \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

Etapa 5

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

Etapa 6

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Etapa 7

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Etapa 7.2

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- \frac{1}{3} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 7.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 7.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 7.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Etapa 7.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Reescreva $- \frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ como $- \frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 9.2

Simplifique.

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Etapa 9.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{3}) u^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 9.2.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 9.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $42 - 3 x$ .

$- \frac{2}{3} {(42 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 11

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{1}{\sqrt{42 - 3 x}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{2}{3} {(42 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} + C$