Cálculo Exemplos

$\int \frac{2 x + 4}{x^{2} + 9} d x$

Etapa 1

Divida a fração $\frac{2 x + 4}{x^{2} + 9}$ em duas frações.

$\int \frac{2 x}{x^{2} + 9} + \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{2 x}{x^{2} + 9} d x + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Etapa 3

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int \frac{x}{x^{2} + 9} d x + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Etapa 4

Deixe $u = x^{2} + 9$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = x^{2} + 9$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 4.1.4

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 4.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Etapa 5.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$2 \int \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Etapa 7.2.2

Reescreva a expressão.

$1 \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Etapa 7.3

Multiplique $\int \frac{1}{u} d u$ por $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Etapa 8

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Etapa 9

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$\ln (| u |) + C + 4 \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x$

Etapa 10

Simplifique a expressão.

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Etapa 10.1

Reordene $x^{2}$ e $9$ .

$\ln (| u |) + C + 4 \int \frac{1}{9 + x^{2}} d x$

Etapa 10.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\ln (| u |) + C + 4 \int \frac{1}{3^{2} + x^{2}} d x$

Etapa 11

A integral de $\frac{1}{3^{2} + x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C$ .

$\ln (| u |) + C + 4 (\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C)$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $\arctan (\frac{x}{3})$ .

$\ln (| u |) + C + 4 (\frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3} + C)$

Etapa 12.2

Simplifique.

$\ln (| u |) + \frac{4 \arctan (\frac{x}{3})}{3} + C$

Etapa 13

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 9$ .

$\ln (| x^{2} + 9 |) + \frac{4 \arctan (\frac{x}{3})}{3} + C$

Etapa 14

Reordene os termos.

$\ln (| x^{2} + 9 |) + \frac{4}{3} \arctan (\frac{1}{3} x) + C$