Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{2 x}}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{2 x}}$

Etapa 1.1.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{2 x}}$

Etapa 1.1.3

Como o expoente $2 x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{2 x}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{2 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{2 x}]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{2 x}]}$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{2 x}]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]}$

Etapa 1.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]}$

Etapa 1.3.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{2 x} (2 \cdot 1)}$

Etapa 1.3.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{2 x} \cdot 2}$

Etapa 1.3.7

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 e^{2 x}}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 e^{2 x}}$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{2 x}}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{2 x}}$

Etapa 2.1.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{2 x}}$

Etapa 2.1.3

Como o expoente $2 x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{2 x}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{2 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{2 x}]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{2 x}]}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{2 x}]}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]}$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]}$

Etapa 2.3.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2 x} (2 \cdot 1)}$

Etapa 2.3.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2 x} \cdot 2}$

Etapa 2.3.7

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 e^{2 x}}$

Etapa 3

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2 x}}$

Etapa 4

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{e^{2 x}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0$

Etapa 5

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$0$