Cálculo Exemplos

$\int \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Etapa 1

Reescreva ${(x + 1)}^{2}$ como $(x + 1) (x + 1)$ .

$\int \frac{x^{3}}{(x + 1) (x + 1)} d x$

Etapa 2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \frac{x^{3}}{x (x + 1) + 1 (x + 1)} d x$

Etapa 3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \frac{x^{3}}{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)} d x$

Etapa 4

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \frac{x^{3}}{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Etapa 5

Reordene $x$ e $1$ .

$\int \frac{x^{3}}{x \cdot x + 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Etapa 6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{1} x + 1 x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Etapa 7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{1} x^{1} + 1 x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Etapa 8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{x^{3}}{x^{1 + 1} + 1 x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Etapa 9

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Some $1$ e $1$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + 1 x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Etapa 9.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Etapa 9.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + x + x + 1 \cdot 1} d x$

Etapa 9.4

Multiplique $1$ por $1$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + x + x + 1} d x$

Etapa 10

Some $x$ e $x$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Etapa 11

Divida $x^{3}$ por $x^{2} + 2 x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Etapa 11.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Etapa 11.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

Etapa 11.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} + 2 x^{2} + x$ .

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

Etapa 11.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

Etapa 11.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

Etapa 11.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

Etapa 11.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

						$x$	-	$2$
$x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$2 x^{2}$	-	$x$	+	$0$
							-	$2 x^{2}$	-	$4 x$	-	$2$

Etapa 11.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 x^{2} - 4 x - 2$ .

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2$

Etapa 11.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2$

$3 x$

$2$

Etapa 11.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int x - 2 + \frac{3 x + 2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Etapa 12

Divida a integral única em várias integrais.

$\int x d x + \int - 2 d x + \int \frac{3 x + 2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Etapa 13

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 2 d x + \int \frac{3 x + 2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Etapa 14

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + \int \frac{3 x + 2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Etapa 15

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 15.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 15.1.1

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 15.1.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{3 x + 2}{x^{2} + 2 x + 1^{2}}$

Etapa 15.1.1.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Etapa 15.1.1.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{3 x + 2}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Etapa 15.1.1.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{3 x + 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 15.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 15.1.3

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$

Etapa 15.1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(3 x + 2) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Etapa 15.1.5

Cancele o fator comum de ${(x + 1)}^{2}$ .

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Etapa 15.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(3 x + 2) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Etapa 15.1.5.2

Divida $3 x + 2$ por $1$ .

$3 x + 2 = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Etapa 15.1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.1.6.1

Cancele o fator comum de ${(x + 1)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$3 x + 2 = \frac{A {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Etapa 15.1.6.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$3 x + 2 = A + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Etapa 15.1.6.2

Cancele o fator comum de ${(x + 1)}^{2}$ e $x + 1$ .

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Etapa 15.1.6.2.1

Fatore $x + 1$ de $(B) {(x + 1)}^{2}$ .

$3 x + 2 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 15.1.6.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1.6.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$3 x + 2 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Etapa 15.1.6.2.2.2

Cancele o fator comum.

$3 x + 2 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Etapa 15.1.6.2.2.3

Reescreva a expressão.

$3 x + 2 = A + \frac{B (x + 1)}{1}$

Etapa 15.1.6.2.2.4

Divida $B (x + 1)$ por $1$ .

$3 x + 2 = A + B (x + 1)$

Etapa 15.1.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x + 2 = A + B x + B \cdot 1$

Etapa 15.1.6.4

Multiplique $B$ por $1$ .

$3 x + 2 = A + B x + B$

Etapa 15.1.7

Reordene $A$ e $B x$ .

$3 x + 2 = B x + A + B$

Etapa 15.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 15.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$3 = B$

Etapa 15.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$2 = A + B$

Etapa 15.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$3 = B$

$2 = A + B$

$3 = B$

$2 = A + B$

Etapa 15.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 15.3.1

Reescreva a equação como $B = 3$ .

$B = 3$

$2 = A + B$

Etapa 15.3.2

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $3$ em cada equação.

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Etapa 15.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $2 = A + B$ por $3$ .

$2 = A + 3$

$B = 3$

Etapa 15.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 15.3.2.2.1

Remova os parênteses.

$2 = A + 3$

$B = 3$

$2 = A + 3$

$B = 3$

$2 = A + 3$

$B = 3$

Etapa 15.3.3

Resolva $A$ em $2 = A + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.3.3.1

Reescreva a equação como $A + 3 = 2$ .

$A + 3 = 2$

$B = 3$

Etapa 15.3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $A$ para o lado direito da equação.

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Etapa 15.3.3.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$A = 2 - 3$

$B = 3$

Etapa 15.3.3.2.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$A = - 1$

$B = 3$

$A = - 1$

$B = 3$

$A = - 1$

$B = 3$

Etapa 15.3.4

Resolva o sistema de equações.

$A = - 1 B = 3$

Etapa 15.3.5

Liste todas as soluções.

$A = - 1, B = 3$

Etapa 15.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{- 1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{3}{x + 1}$

Etapa 15.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + \int - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{3}{x + 1} d x$

Etapa 16

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + \int - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int \frac{3}{x + 1} d x$

Etapa 17

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int \frac{3}{x + 1} d x$

Etapa 18

Deixe $u_{1} = x + 1$ . Depois, $d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1

Deixe $u_{1} = x + 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 18.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 18.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 18.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 18.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 18.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 18.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{3}{x + 1} d x$

Etapa 19

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1

Mova ${u_{1}}^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{3}{x + 1} d x$

Etapa 19.2

Multiplique os expoentes em ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 19.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{3}{x + 1} d x$

Etapa 19.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{3}{x + 1} d x$

Etapa 20

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{1}}^{- 2}$ com relação a $u_{1}$ é $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{3}{x + 1} d x$

Etapa 21

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 3 \int \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 22

Deixe $u_{2} = x + 1$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 22.1

Deixe $u_{2} = x + 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 22.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 22.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 22.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 22.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 22.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 3 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 23

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 3 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Etapa 24

Simplifique.

$\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{u_{1}} + 3 \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 25

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 25.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x + 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{x + 1} + 3 \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 25.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x + 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{x + 1} + 3 \ln (| x + 1 |) + C$

Etapa 26

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + \frac{1}{x + 1} + 3 \ln (| x + 1 |) + C$