Cálculo Exemplos

$\int_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}} \frac{9}{x \sqrt{4 x^{2} - 4}} d x$

Etapa 1

Como $9$ é constante com relação a $x$ , mova $9$ para fora da integral.

$9 \int_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}} \frac{1}{x \sqrt{4 x^{2} - 4}} d x$

Etapa 2

Simplifique com fatoração.

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Etapa 2.1

Reescreva $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$9 \int_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}} \frac{1}{x \sqrt{{(2 x)}^{2} - 4}} d x$

Etapa 2.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$9 \int_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}} \frac{1}{x \sqrt{{(2 x)}^{2} - 2^{2}}} d x$

Etapa 3

A integral de $\frac{1}{x \sqrt{{(2 x)}^{2} - 2^{2}}}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} arcsec (| \frac{2 x}{2} |)$

$9 (\frac{1}{2} arcsec (| \frac{2 x}{2} |)]_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique.

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Etapa 4.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1.1.1

Cancele o fator comum.

$9 (\frac{1}{2} arcsec (| \frac{2 x}{2} |)]_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

Etapa 4.1.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$9 (\frac{1}{2} arcsec (| x |)]_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

Etapa 4.1.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $arcsec (| x |)$ .

$9 (\frac{arcsec (| x |)}{2}]_{- 2}^{- \frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

Etapa 4.2

Avalie $\frac{arcsec (| x |)}{2}$ em $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ e em $- 2$ .

$9 (\frac{arcsec (| - \frac{2 \sqrt{3}}{3} |)}{2} - \frac{arcsec (| - 2 |)}{2})$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$9 \frac{arcsec (| - \frac{2 \sqrt{3}}{3} |) - arcsec (| - 2 |)}{2}$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ é aproximadamente $- 1.15470053$ , que é negativo, então negative $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ e remova o valor absoluto

$9 \frac{arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - arcsec (| - 2 |)}{2}$

Etapa 5.2.2

O valor exato de $arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ é $\frac{π}{6}$ .

$9 \frac{\frac{π}{6} - arcsec (| - 2 |)}{2}$

Etapa 5.2.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $- 2$ e $0$ é $2$ .

$9 \frac{\frac{π}{6} - arcsec (2)}{2}$

Etapa 5.2.4

O valor exato de $arcsec (2)$ é $\frac{π}{3}$ .

$9 \frac{\frac{π}{6} - \frac{π}{3}}{2}$

Etapa 5.3

Para escrever $- \frac{π}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$9 \frac{\frac{π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}}{2}$

Etapa 5.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.4.1

Multiplique $\frac{π}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$9 \frac{\frac{π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}}{2}$

Etapa 5.4.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$9 \frac{\frac{π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}}{2}$

Etapa 5.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$9 \frac{\frac{π - π \cdot 2}{6}}{2}$

Etapa 5.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.6.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$9 \frac{\frac{π - 2 π}{6}}{2}$

Etapa 5.6.2

Subtraia $2 π$ de $π$ .

$9 \frac{\frac{- π}{6}}{2}$

Etapa 5.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$9 \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Etapa 5.8

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$9 (- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 5.9

Multiplique $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 5.9.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{π}{6}$ .

$9 (- \frac{π}{2 \cdot 6})$

Etapa 5.9.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$9 (- \frac{π}{12})$

Etapa 5.10

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.10.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{π}{12}$ para o numerador.

$9 \frac{- π}{12}$

Etapa 5.10.2

Fatore $3$ de $9$ .

$3 (3) \frac{- π}{12}$

Etapa 5.10.3

Fatore $3$ de $12$ .

$3 \cdot 3 \frac{- π}{3 \cdot 4}$

Etapa 5.10.4

Cancele o fator comum.

$3 \cdot 3 \frac{- π}{3 \cdot 4}$

Etapa 5.10.5

Reescreva a expressão.

$3 \frac{- π}{4}$

Etapa 5.11

Combine $3$ e $\frac{- π}{4}$ .

$\frac{3 (- π)}{4}$

Etapa 5.12

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{- 3 π}{4}$

Etapa 5.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3 π}{4}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{3 π}{4}$

Forma decimal:

$- 2.35619449 \dots$

Etapa 7