Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{2} \tan (2 x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{2} \cdot \tan (2 x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 1.2.2

A derivada de $\tan (u)$ em relação a $u$ é $\sec^{2} (u)$ .

$\frac{1}{2} (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

Combine $\sec^{2} (2 x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x)}{2} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.3

Simplifique os termos.

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Etapa 1.3.3.1

Combine $2$ e $\frac{\sec^{2} (2 x)}{2}$ .

$\frac{2 \sec^{2} (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.3.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sec^{2} (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.3.2.2

Divida $\sec^{2} (2 x)$ por $1$ .

$\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\sec^{2} (2 x) \cdot 1$

Etapa 1.3.5

Multiplique $\sec^{2} (2 x)$ por $1$ .

$\sec^{2} (2 x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sec (2 x)$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sec (2 x)$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (2 x))$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 u_{1} \frac{d}{d x} (\sec (2 x))$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sec (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 \sec (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x))$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x$ .

$f'' (x) = 2 \sec (2 x) (\frac{d}{d u (2)} (\sec (u_{2})) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\sec (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$f'' (x) = 2 \sec (2 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x$ .

$f'' (x) = 2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 2.3

Eleve $\sec (2 x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 2.4

Eleve $\sec (2 x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 2 {\sec (2 x)}^{1 + 1} (\tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 2.6

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (2 x) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 2.7

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.8

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) \cdot 1$

Etapa 2.10

Multiplique $4$ por $1$ .

$f'' (x) = 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\sec^{2} (2 x) = 0$

Etapa 4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sec (2 x) = \pm \sqrt{0}$

Etapa 5

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 5.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\sec (2 x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 5.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\sec (2 x) = \pm 0$

Etapa 5.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$\sec (2 x) = 0$

Etapa 6

O intervalo da secante é $y \leq - 1$ e $y \geq 1$ . Como $0$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 7

Avalie a segunda derivada em $x =$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$4 \sec^{2} (2) \tan (2)$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 8.1

Avalie $\sec (2)$ .

$4 \cdot {1.00060954}^{2} \tan (2)$

Etapa 8.2

Eleve $1.00060954$ à potência de $2$ .

$4 \cdot 1.00121946 \tan (2)$

Etapa 8.3

Multiplique $4$ por $1.00121946$ .

$4.00487784 \tan (2)$

Etapa 8.4

Avalie $\tan (2)$ .

$4.00487784 \cdot 0.03492076$

Etapa 8.5

Multiplique $4.00487784$ por $0.03492076$ .

$0.13985341$

Etapa 9

$x =$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x =$ é um mínimo local

Etapa 10

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \tan (2 x)$ .

$(, i s a (l o c a l) (m i n i m u m))$ é um mínimo local

Etapa 11