Cálculo Exemplos

$lim_{x \to - \infty} \sqrt{x^{2} + x + 1} + x$

Etapa 1

Multiplique para racionalizar o numerador.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(\sqrt{x^{2} + x + 1} + x) (\sqrt{x^{2} + x + 1} - x)}{\sqrt{x^{2} + x + 1} - x}$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Expanda o numerador usando o método FOIL.

$lim_{x \to - \infty} \frac{{\sqrt{x^{2} + x + 1}}^{2} + \sqrt{x^{2} + x + 1} (- x) + \sqrt{x^{2} + x + 1} x - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + x + 1} - x}$

Etapa 2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.1

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + 0}{\sqrt{x^{2} + x + 1} - x}$

Etapa 2.2.2

Some $x + 1$ e $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + x + 1} - x}$

Etapa 3

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} - \frac{x}{x}}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.1.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} - \frac{x}{x}}$

Etapa 4.1.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} - \frac{x}{x}}$

Etapa 4.2

Simplifique os termos.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Etapa 4.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Etapa 4.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{1 + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Etapa 4.2.2.2

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

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Etapa 4.2.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{1 + \frac{x^{1}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Etapa 4.2.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{1 + \frac{x \cdot 1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Etapa 4.2.2.2.3

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.2.2.2.3.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Etapa 4.2.2.2.3.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Etapa 4.2.2.2.3.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Etapa 4.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Etapa 4.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Etapa 4.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Etapa 5

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1 + 0}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}$

Etapa 6

Avalie o limite.

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Etapa 6.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{1 + 0}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} 1}$

Etapa 6.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} 1}$

Etapa 6.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{1 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} 1}$

Etapa 6.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{1 + 0}{- \sqrt{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} 1}$

Etapa 7

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1 + 0}{- \sqrt{1 + 0 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} 1}$

Etapa 8

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1 + 0}{- \sqrt{1 + 0 + 0} - lim_{x \to - \infty} 1}$

Etapa 9

Avalie o limite.

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Etapa 9.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{1 + 0}{- \sqrt{1 + 0 + 0} - 1 \cdot 1}$

Etapa 9.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.2.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{- \sqrt{1 + 0 + 0} - 1 \cdot 1}$

Etapa 9.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.2.2.1

Some $1 + 0$ e $0$ .

$\frac{1}{- \sqrt{1 + 0} - 1 \cdot 1}$

Etapa 9.2.2.2

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{- \sqrt{1} - 1 \cdot 1}$

Etapa 9.2.2.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{1}{- 1 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 9.2.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{- 1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 9.2.2.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{- 1 - 1}$

Etapa 9.2.2.6

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$\frac{1}{- 2}$

Etapa 9.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2}$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{1}{2}$

Forma decimal:

$- 0.5$