Cálculo Exemplos

$f (x) = \sin (x) - \cos (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (x) - \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.3.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\cos (x) - - \sin (x)$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\cos (x) + 1 \sin (x)$

Etapa 1.3.4

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\cos (x) + \sin (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\cos (x) + \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Etapa 2.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Etapa 2.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \cos (x)$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

Etapa 4

Divida cada termo na equação por $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 5

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 5.2

Reescreva a expressão.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 6

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 7

Separe as frações.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 8

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Etapa 9

Divida $0$ por $1$ .

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

Etapa 10

Multiplique $0$ por $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = 0$

Etapa 11

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\tan (x) = - 1$

Etapa 12

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Etapa 13

Simplifique o lado direito.

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Etapa 13.1

O valor exato de $\arctan (- 1)$ é $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Etapa 14

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Etapa 15

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 15.1

Some $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Etapa 15.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{4}$ é positivo e coterminal com $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 16

A solução para a equação $x = - \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{π}{4}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \sin (- \frac{π}{4}) + \cos (- \frac{π}{4})$

Etapa 18

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 18.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 18.1.1

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$- \sin (\frac{7 π}{4}) + \cos (- \frac{π}{4})$

Etapa 18.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$- - \sin (\frac{π}{4}) + \cos (- \frac{π}{4})$

Etapa 18.1.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (- \frac{π}{4})$

Etapa 18.1.4

Multiplique $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 18.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (- \frac{π}{4})$

Etapa 18.1.4.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (- \frac{π}{4})$

Etapa 18.1.5

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{7 π}{4})$

Etapa 18.1.6

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

Etapa 18.1.7

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 18.2

Simplifique os termos.

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Etapa 18.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Etapa 18.2.2

Some $\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 18.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 18.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 18.2.3.2

Divida $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\sqrt{2}$

Etapa 19

$x = - \frac{π}{4}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{π}{4}$ é um mínimo local

Etapa 20

Encontre o valor y quando $x = - \frac{π}{4}$ .

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Etapa 20.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{π}{4}$ na expressão.

$f (- \frac{π}{4}) = \sin (- \frac{π}{4}) - \cos (- \frac{π}{4})$

Etapa 20.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 20.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 20.2.1.1

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \sin (\frac{7 π}{4}) - \cos (- \frac{π}{4})$

Etapa 20.2.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$f (- \frac{π}{4}) = - \sin (\frac{π}{4}) - \cos (- \frac{π}{4})$

Etapa 20.2.1.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (- \frac{π}{4})$

Etapa 20.2.1.4

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{7 π}{4})$

Etapa 20.2.1.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Etapa 20.2.1.6

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 20.2.2

Simplifique os termos.

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Etapa 20.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Etapa 20.2.2.2

Subtraia $\sqrt{2}$ de $- \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 20.2.2.3

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 20.2.2.3.1

Fatore $2$ de $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Etapa 20.2.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 20.2.2.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Etapa 20.2.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Etapa 20.2.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- \sqrt{2}}{1}$

Etapa 20.2.2.3.2.4

Divida $- \sqrt{2}$ por $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \sqrt{2}$

Etapa 20.2.3

A resposta final é $- \sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2}$

Etapa 21

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{3 π}{4}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \sin (\frac{3 π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Etapa 22

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 22.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 22.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$- \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Etapa 22.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{3 π}{4})$

Etapa 22.1.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Etapa 22.1.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 22.2

Simplifique os termos.

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Etapa 22.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Etapa 22.2.2

Subtraia $\sqrt{2}$ de $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 22.2.3

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 22.2.3.1

Fatore $2$ de $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Etapa 22.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 22.2.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Etapa 22.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Etapa 22.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- \sqrt{2}}{1}$

Etapa 22.2.3.2.4

Divida $- \sqrt{2}$ por $1$ .

$- \sqrt{2}$

Etapa 23

$x = \frac{3 π}{4}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{3 π}{4}$ é um máximo local

Etapa 24

Encontre o valor y quando $x = \frac{3 π}{4}$ .

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Etapa 24.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3 π}{4}$ na expressão.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{4}) - \cos (\frac{3 π}{4})$

Etapa 24.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 24.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 24.2.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{3 π}{4})$

Etapa 24.2.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{3 π}{4})$

Etapa 24.2.1.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

Etapa 24.2.1.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 24.2.1.5

Multiplique $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 24.2.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 24.2.1.5.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 24.2.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Etapa 24.2.2.2

Some $\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 24.2.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 24.2.2.3.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 24.2.2.3.2

Divida $\sqrt{2}$ por $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \sqrt{2}$

Etapa 24.2.3

A resposta final é $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2}$

Etapa 25

Esses são os extremos locais para $f (x) = \sin (x) - \cos (x)$ .

$(- \frac{π}{4}, - \sqrt{2})$ é um mínimo local

$(\frac{3 π}{4}, \sqrt{2})$ é um máximo local

Etapa 26