Cálculo Exemplos

$y = 3 \cos (x) + 1$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 \cos (x) + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 \cos (x)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.2.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.3.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 3 \sin (x) + 0$

Etapa 1.3.2

Some $- 3 \sin (x)$ e $0$ .

$- 3 \sin (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 \sin (x)$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Etapa 2.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 3 \cos (x)$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 3 \sin (x) = 0$

Etapa 4

Divida cada termo em $- 3 \sin (x) = 0$ por $- 3$ e simplifique.

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Etapa 4.1

Divida cada termo em $- 3 \sin (x) = 0$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 \sin (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

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Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 \sin (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Etapa 4.2.1.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{0}{- 3}$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Divida $0$ por $- 3$ .

$\sin (x) = 0$

Etapa 5

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (0)$

Etapa 6

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 7

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - 0$

Etapa 8

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = π$

Etapa 9

A solução para a equação $x = 0$ .

$x = 0, π$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 3 \cos (0)$

Etapa 11

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 11.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- 3 \cdot 1$

Etapa 11.2

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$- 3$

Etapa 12

$x = 0$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 13

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

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Etapa 13.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = 3 \cos (0) + 1$

Etapa 13.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 13.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.2.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (0) = 3 \cdot 1 + 1$

Etapa 13.2.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$f (0) = 3 + 1$

Etapa 13.2.2

Some $3$ e $1$ .

$f (0) = 4$

Etapa 13.2.3

A resposta final é $4$ .

$y = 4$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada em $x = π$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 3 \cos (π)$

Etapa 15

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 15.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- 3 (- \cos (0))$

Etapa 15.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- 3 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 15.3

Multiplique $- 3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 15.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 3 \cdot - 1$

Etapa 15.3.2

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$3$

Etapa 16

$x = π$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = π$ é um mínimo local

Etapa 17

Encontre o valor y quando $x = π$ .

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Etapa 17.1

Substitua a variável $x$ por $π$ na expressão.

$f (π) = 3 \cos (π) + 1$

Etapa 17.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 17.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 17.2.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (π) = 3 (- \cos (0)) + 1$

Etapa 17.2.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (π) = 3 (- 1 \cdot 1) + 1$

Etapa 17.2.1.3

Multiplique $3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 17.2.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (π) = 3 \cdot - 1 + 1$

Etapa 17.2.1.3.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f (π) = - 3 + 1$

Etapa 17.2.2

Some $- 3$ e $1$ .

$f (π) = - 2$

Etapa 17.2.3

A resposta final é $- 2$ .

$y = - 2$

Etapa 18

Esses são os extremos locais para $f (x) = 3 \cos (x) + 1$ .

$(0, 4)$ é um máximo local

$(π, - 2)$ é um mínimo local

Etapa 19