Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{5} - 4 x^{3} + x^{2} + 2$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{5} - 4 x^{3} + x^{2} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$5 x^{4} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x + 0$

Etapa 1.3.3

Some $5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x$ e $0$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{4}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $4$ por $5$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2 x)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $- 12$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 x + \frac{d}{d x} (2 x)$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 x + 2 \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 x + 2 \cdot 1$

Etapa 2.4.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 x + 2$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{5} - 4 x^{3} + x^{2} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$5 x^{4} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 4.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 4.1.3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x + 0$

Etapa 4.1.3.3

Some $5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x$ e $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 2 x = 0$

Etapa 5.2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x \approx - 1.62662472, 0, 0.16866593, 1.45795878$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = - 1.62662472, 0, 0.16866593, 1.45795878$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = - 1.62662472$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$20 {(- 1.62662472)}^{3} - 24 \cdot - 1.62662472 + 2$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Eleve $- 1.62662472$ à potência de $3$ .

$20 \cdot - 4.30389932 - 24 \cdot - 1.62662472 + 2$

Etapa 9.1.2

Multiplique $20$ por $- 4.30389932$ .

$- 86.07798657 - 24 \cdot - 1.62662472 + 2$

Etapa 9.1.3

Multiplique $- 24$ por $- 1.62662472$ .

$- 86.07798657 + 39.03899328 + 2$

Etapa 9.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Some $- 86.07798657$ e $39.03899328$ .

$- 47.03899328 + 2$

Etapa 9.2.2

Some $- 47.03899328$ e $2$ .

$- 45.03899328$

Etapa 10

$x = - 1.62662472$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 1.62662472$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = - 1.62662472$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.62662472$ na expressão.

$f (- 1.62662472) = {(- 1.62662472)}^{5} - 4 {(- 1.62662472)}^{3} + {(- 1.62662472)}^{2} + 2$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Eleve $- 1.62662472$ à potência de $5$ .

$f (- 1.62662472) = - 11.38772158 - 4 {(- 1.62662472)}^{3} + {(- 1.62662472)}^{2} + 2$

Etapa 11.2.1.2

Eleve $- 1.62662472$ à potência de $3$ .

$f (- 1.62662472) = - 11.38772158 - 4 \cdot - 4.30389932 + {(- 1.62662472)}^{2} + 2$

Etapa 11.2.1.3

Multiplique $- 4$ por $- 4.30389932$ .

$f (- 1.62662472) = - 11.38772158 + 17.21559731 + {(- 1.62662472)}^{2} + 2$

Etapa 11.2.1.4

Eleve $- 1.62662472$ à potência de $2$ .

$f (- 1.62662472) = - 11.38772158 + 17.21559731 + 2.64590798 + 2$

Etapa 11.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Some $- 11.38772158$ e $17.21559731$ .

$f (- 1.62662472) = 5.82787573 + 2.64590798 + 2$

Etapa 11.2.2.2

Some $5.82787573$ e $2.64590798$ .

$f (- 1.62662472) = 8.47378371 + 2$

Etapa 11.2.2.3

Some $8.47378371$ e $2$ .

$f (- 1.62662472) = 10.47378371$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $10.47378371$ .

$y = 10.47378371$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$20 {(0)}^{3} - 24 \cdot 0 + 2$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$20 \cdot 0 - 24 \cdot 0 + 2$

Etapa 13.1.2

Multiplique $20$ por $0$ .

$0 - 24 \cdot 0 + 2$

Etapa 13.1.3

Multiplique $- 24$ por $0$ .

$0 + 0 + 2$

Etapa 13.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 2$

Etapa 13.2.2

Some $0$ e $2$ .

$2$

Etapa 14

$x = 0$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {(0)}^{5} - 4 {(0)}^{3} + {(0)}^{2} + 2$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{3} + {(0)}^{2} + 2$

Etapa 15.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 + {(0)}^{2} + 2$

Etapa 15.2.1.3

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + {(0)}^{2} + 2$

Etapa 15.2.1.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 2$

Etapa 15.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 2$

Etapa 15.2.2.2

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 2$

Etapa 15.2.2.3

Some $0$ e $2$ .

$f (0) = 2$

Etapa 15.2.3

A resposta final é $2$ .

$y = 2$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada em $x = 0.16866593$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$20 {(0.16866593)}^{3} - 24 \cdot 0.16866593 + 2$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1

Eleve $0.16866593$ à potência de $3$ .

$20 \cdot 0.00479824 - 24 \cdot 0.16866593 + 2$

Etapa 17.1.2

Multiplique $20$ por $0.00479824$ .

$0.09596483 - 24 \cdot 0.16866593 + 2$

Etapa 17.1.3

Multiplique $- 24$ por $0.16866593$ .

$0.09596483 - 4.0479824 + 2$

Etapa 17.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.1

Subtraia $4.0479824$ de $0.09596483$ .

$- 3.95201757 + 2$

Etapa 17.2.2

Some $- 3.95201757$ e $2$ .

$- 1.95201757$

Etapa 18

$x = 0.16866593$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0.16866593$ é um máximo local

Etapa 19

Encontre o valor y quando $x = 0.16866593$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1

Substitua a variável $x$ por $0.16866593$ na expressão.

$f (0.16866593) = {(0.16866593)}^{5} - 4 {(0.16866593)}^{3} + {(0.16866593)}^{2} + 2$

Etapa 19.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.1

Eleve $0.16866593$ à potência de $5$ .

$f (0.16866593) = 0.0001365 - 4 {(0.16866593)}^{3} + {(0.16866593)}^{2} + 2$

Etapa 19.2.1.2

Eleve $0.16866593$ à potência de $3$ .

$f (0.16866593) = 0.0001365 - 4 \cdot 0.00479824 + {(0.16866593)}^{2} + 2$

Etapa 19.2.1.3

Multiplique $- 4$ por $0.00479824$ .

$f (0.16866593) = 0.0001365 - 0.01919296 + {(0.16866593)}^{2} + 2$

Etapa 19.2.1.4

Eleve $0.16866593$ à potência de $2$ .

$f (0.16866593) = 0.0001365 - 0.01919296 + 0.02844819 + 2$

Etapa 19.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.2.1

Subtraia $0.01919296$ de $0.0001365$ .

$f (0.16866593) = - 0.01905646 + 0.02844819 + 2$

Etapa 19.2.2.2

Some $- 0.01905646$ e $0.02844819$ .

$f (0.16866593) = 0.00939173 + 2$

Etapa 19.2.2.3

Some $0.00939173$ e $2$ .

$f (0.16866593) = 2.00939173$

Etapa 19.2.3

A resposta final é $2.00939173$ .

$y = 2.00939173$

Etapa 20

Avalie a segunda derivada em $x = 1.45795878$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$20 {(1.45795878)}^{3} - 24 \cdot 1.45795878 + 2$

Etapa 21

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 21.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 21.1.1

Eleve $1.45795878$ à potência de $3$ .

$20 \cdot 3.09910108 - 24 \cdot 1.45795878 + 2$

Etapa 21.1.2

Multiplique $20$ por $3.09910108$ .

$61.98202173 - 24 \cdot 1.45795878 + 2$

Etapa 21.1.3

Multiplique $- 24$ por $1.45795878$ .

$61.98202173 - 34.99101086 + 2$

Etapa 21.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 21.2.1

Subtraia $34.99101086$ de $61.98202173$ .

$26.99101087 + 2$

Etapa 21.2.2

Some $26.99101087$ e $2$ .

$28.99101087$

Etapa 22

$x = 1.45795878$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 1.45795878$ é um mínimo local

Etapa 23

Encontre o valor y quando $x = 1.45795878$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 23.1

Substitua a variável $x$ por $1.45795878$ na expressão.

$f (1.45795878) = {(1.45795878)}^{5} - 4 {(1.45795878)}^{3} + {(1.45795878)}^{2} + 2$

Etapa 23.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 23.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 23.2.1.1

Eleve $1.45795878$ à potência de $5$ .

$f (1.45795878) = 6.58758507 - 4 {(1.45795878)}^{3} + {(1.45795878)}^{2} + 2$

Etapa 23.2.1.2

Eleve $1.45795878$ à potência de $3$ .

$f (1.45795878) = 6.58758507 - 4 \cdot 3.09910108 + {(1.45795878)}^{2} + 2$

Etapa 23.2.1.3

Multiplique $- 4$ por $3.09910108$ .

$f (1.45795878) = 6.58758507 - 12.39640434 + {(1.45795878)}^{2} + 2$

Etapa 23.2.1.4

Eleve $1.45795878$ à potência de $2$ .

$f (1.45795878) = 6.58758507 - 12.39640434 + 2.12564382 + 2$

Etapa 23.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 23.2.2.1

Subtraia $12.39640434$ de $6.58758507$ .

$f (1.45795878) = - 5.80881926 + 2.12564382 + 2$

Etapa 23.2.2.2

Some $- 5.80881926$ e $2.12564382$ .

$f (1.45795878) = - 3.68317544 + 2$

Etapa 23.2.2.3

Some $- 3.68317544$ e $2$ .

$f (1.45795878) = - 1.68317544$

Etapa 23.2.3

A resposta final é $- 1.68317544$ .

$y = - 1.68317544$

Etapa 24

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{5} - 4 x^{3} + x^{2} + 2$ .

$(- 1.62662472, 10.47378371)$ é um máximo local

$(0, 2)$ é um mínimo local

$(0.16866593, 2.00939173)$ é um máximo local

$(1.45795878, - 1.68317544)$ é um mínimo local

Etapa 25