Cálculo Exemplos

$\int 2 \sqrt{x} \sqrt{1 + {(\frac{1}{\sqrt{x}})}^{2}} d x$

Etapa 1

Simplifique.

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Etapa 1.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{1}{\sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

Etapa 1.2

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

Etapa 1.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

Etapa 1.3.2

Eleve $\sqrt{x}$ à potência de $1$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

Etapa 1.3.3

Eleve $\sqrt{x}$ à potência de $1$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}})}^{2}) x} d x$

Etapa 1.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}})}^{2}) x} d x$

Etapa 1.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}})}^{2}) x} d x$

Etapa 1.3.6

Reescreva ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Etapa 1.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}) x} d x$

Etapa 1.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}) x} d x$

Etapa 1.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})}^{2}) x} d x$

Etapa 1.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})}^{2}) x} d x$

Etapa 1.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{x^{1}})}^{2}) x} d x$

Etapa 1.3.6.5

Simplifique.

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{x})}^{2}) x} d x$

Etapa 1.4

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{x}}{x}$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

Etapa 1.5

Reescreva ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Etapa 1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

Etapa 1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x^{2}}) x} d x$

Etapa 1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}) x} d x$

Etapa 1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}) x} d x$

Etapa 1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x^{1}}{x^{2}}) x} d x$

Etapa 1.5.5

Simplifique.

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x}{x^{2}}) x} d x$

Etapa 1.6

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

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Etapa 1.6.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x^{1}}{x^{2}}) x} d x$

Etapa 1.6.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 1}{x^{2}}) x} d x$

Etapa 1.6.3

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.6.3.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}) x} d x$

Etapa 1.6.3.2

Cancele o fator comum.

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}) x} d x$

Etapa 1.6.3.3

Reescreva a expressão.

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{1}{x}) x} d x$

Etapa 1.7

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int 2 \sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{1}{x}) x} d x$

Etapa 1.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int 2 \sqrt{\frac{x + 1}{x} x} d x$

Etapa 1.9

Combine $\frac{x + 1}{x}$ e $x$ .

$\int 2 \sqrt{\frac{(x + 1) x}{x}} d x$

Etapa 1.10

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.10.1

Cancele o fator comum.

$\int 2 \sqrt{\frac{(x + 1) x}{x}} d x$

Etapa 1.10.2

Divida $x + 1$ por $1$ .

$\int 2 \sqrt{x + 1} d x$

Etapa 2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int \sqrt{x + 1} d x$

Etapa 3

Deixe $u = x + 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 3.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$2 \int \sqrt{u} d u$

Etapa 4

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Reescreva $2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ como $2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Combine $2$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 6.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$\frac{4}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$