Cálculo Exemplos

$y = \ln (2 t^{4} e^{- t})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \ln (t)$ e $g (t) = 2 t^{4} e^{- t}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 t^{4} e^{- t}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [2 t^{4} e^{- t}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [2 t^{4} e^{- t}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 t^{4} e^{- t}$ .

$\frac{1}{2 t^{4} e^{- t}} \frac{d}{d t} [2 t^{4} e^{- t}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 2.1

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t^{4} e^{- t}$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t^{4} e^{- t}]$ .

$\frac{1}{2 t^{4} e^{- t}} (2 \frac{d}{d t} [t^{4} e^{- t}])$

Etapa 2.2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2 t^{4} e^{- t}}$ .

$\frac{2}{2 t^{4} e^{- t}} \frac{d}{d t} [t^{4} e^{- t}]$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2 t^{4} e^{- t}} \frac{d}{d t} [t^{4} e^{- t}]$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} \frac{d}{d t} [t^{4} e^{- t}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t^{4}$ e $g (t) = e^{- t}$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} \frac{d}{d t} [e^{- t}] + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - t$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- t$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- t$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t])) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (e^{- t} (- 1 \cdot 1)) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Etapa 5.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (e^{- t} \cdot - 1) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Etapa 5.3.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- t}$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (- 1 \cdot e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Etapa 5.3.3

Reescreva $- 1 e^{- t}$ como $- e^{- t}$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (- e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

Etapa 5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (- e^{- t}) + e^{- t} (4 t^{3}))$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (- e^{- t})) + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

Etapa 6.2

Combine os termos.

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Etapa 6.2.1

Combine $t^{4}$ e $\frac{1}{t^{4} e^{- t}}$ .

$\frac{t^{4}}{t^{4} e^{- t}} (- e^{- t}) + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

Etapa 6.2.2

Combine $\frac{t^{4}}{t^{4} e^{- t}}$ e $e^{- t}$ .

$- \frac{t^{4} e^{- t}}{t^{4} e^{- t}} + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

Etapa 6.2.3

Cancele o fator comum de $t^{4}$ .

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Etapa 6.2.3.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{t^{4} e^{- t}}{t^{4} e^{- t}} + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

Etapa 6.2.3.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

Etapa 6.2.4

Cancele o fator comum de $e^{- t}$ .

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Etapa 6.2.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

Etapa 6.2.4.2

Reescreva a expressão.

$- 1 \cdot 1 + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

Etapa 6.2.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1 + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

Etapa 6.2.6

Combine $e^{- t}$ e $\frac{1}{t^{4} e^{- t}}$ .

$- 1 + \frac{e^{- t}}{t^{4} e^{- t}} (4 t^{3})$

Etapa 6.2.7

Combine $4$ e $\frac{e^{- t}}{t^{4} e^{- t}}$ .

$- 1 + \frac{4 e^{- t}}{t^{4} e^{- t}} t^{3}$

Etapa 6.2.8

Combine $\frac{4 e^{- t}}{t^{4} e^{- t}}$ e $t^{3}$ .

$- 1 + \frac{4 e^{- t} t^{3}}{t^{4} e^{- t}}$

Etapa 6.2.9

Cancele o fator comum de $e^{- t}$ .

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Etapa 6.2.9.1

Cancele o fator comum.

$- 1 + \frac{4 e^{- t} t^{3}}{t^{4} e^{- t}}$

Etapa 6.2.9.2

Reescreva a expressão.

$- 1 + \frac{4 t^{3}}{t^{4}}$

Etapa 6.2.10

Cancele o fator comum de $t^{3}$ e $t^{4}$ .

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Etapa 6.2.10.1

Fatore $t^{3}$ de $4 t^{3}$ .

$- 1 + \frac{t^{3} \cdot 4}{t^{4}}$

Etapa 6.2.10.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.2.10.2.1

Fatore $t^{3}$ de $t^{4}$ .

$- 1 + \frac{t^{3} \cdot 4}{t^{3} t}$

Etapa 6.2.10.2.2

Cancele o fator comum.

$- 1 + \frac{t^{3} \cdot 4}{t^{3} t}$

Etapa 6.2.10.2.3

Reescreva a expressão.

$- 1 + \frac{4}{t}$

Etapa 6.3

Reordene os termos.

$\frac{4}{t} - 1$