Cálculo Exemplos

$\int \frac{x}{{(1 + 4 x)}^{2}} d x$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{{(1 + 4 x)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

$\frac{A}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{B}{1 + 4 x}$

Etapa 1.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é ${(1 + 4 x)}^{2}$ .

$\frac{x {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{(A) {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{(B) {(1 + 4 x)}^{2}}{1 + 4 x}$

Etapa 1.1.4

Cancele o fator comum de ${(1 + 4 x)}^{2}$ .

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Etapa 1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{(A) {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{(B) {(1 + 4 x)}^{2}}{1 + 4 x}$

Etapa 1.1.4.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{(A) {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{(B) {(1 + 4 x)}^{2}}{1 + 4 x}$

Etapa 1.1.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.5.1

Cancele o fator comum de ${(1 + 4 x)}^{2}$ .

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Etapa 1.1.5.1.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{A {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{(B) {(1 + 4 x)}^{2}}{1 + 4 x}$

Etapa 1.1.5.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$x = A + \frac{(B) {(1 + 4 x)}^{2}}{1 + 4 x}$

Etapa 1.1.5.2

Cancele o fator comum de ${(1 + 4 x)}^{2}$ e $1 + 4 x$ .

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Etapa 1.1.5.2.1

Fatore $1 + 4 x$ de $(B) {(1 + 4 x)}^{2}$ .

$x = A + \frac{(1 + 4 x) (B (1 + 4 x))}{1 + 4 x}$

Etapa 1.1.5.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.1.5.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$x = A + \frac{(1 + 4 x) (B (1 + 4 x))}{(1 + 4 x) \cdot 1}$

Etapa 1.1.5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$x = A + \frac{(1 + 4 x) (B (1 + 4 x))}{(1 + 4 x) \cdot 1}$

Etapa 1.1.5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$x = A + \frac{B (1 + 4 x)}{1}$

Etapa 1.1.5.2.2.4

Divida $B (1 + 4 x)$ por $1$ .

$x = A + B (1 + 4 x)$

Etapa 1.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x = A + B \cdot 1 + B (4 x)$

Etapa 1.1.5.4

Multiplique $B$ por $1$ .

$x = A + B + B (4 x)$

Etapa 1.1.5.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x = A + B + 4 B x$

Etapa 1.1.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.6.1

Mova $B$ .

$x = A + B + 4 x B$

Etapa 1.1.6.2

Mova $B$ .

$x = A + 4 x B + B$

Etapa 1.1.6.3

Reordene $A$ e $4 x B$ .

$x = 4 x B + A + B$

Etapa 1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = 4 B$

Etapa 1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + B$

Etapa 1.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$1 = 4 B$

$0 = A + B$

$1 = 4 B$

$0 = A + B$

Etapa 1.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 1.3.1

Resolva $B$ em $1 = 4 B$ .

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Etapa 1.3.1.1

Reescreva a equação como $4 B = 1$ .

$4 B = 1$

$0 = A + B$

Etapa 1.3.1.2

Divida cada termo em $4 B = 1$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 1.3.1.2.1

Divida cada termo em $4 B = 1$ por $4$ .

$\frac{4 B}{4} = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

Etapa 1.3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 1.3.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 B}{4} = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

Etapa 1.3.1.2.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

Etapa 1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $\frac{1}{4}$ em cada equação.

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Etapa 1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $0 = A + B$ por $\frac{1}{4}$ .

$0 = A + \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.3.2.2.1

Remova os parênteses.

$0 = A + \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

Etapa 1.3.3

Resolva $A$ em $0 = A + \frac{1}{4}$ .

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Etapa 1.3.3.1

Reescreva a equação como $A + \frac{1}{4} = 0$ .

$A + \frac{1}{4} = 0$

$B = \frac{1}{4}$

Etapa 1.3.3.2

Subtraia $\frac{1}{4}$ dos dois lados da equação.

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

Etapa 1.3.4

Resolva o sistema de equações.

$A = - \frac{1}{4} B = \frac{1}{4}$

Etapa 1.3.5

Liste todas as soluções.

$A = - \frac{1}{4}, B = \frac{1}{4}$

Etapa 1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{B}{1 + 4 x}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{- \frac{1}{4}}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{\frac{1}{4}}{1 + 4 x}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{\frac{1}{4}}{1 + 4 x}$

Etapa 1.5.2

Multiplique $\frac{1}{{(1 + 4 x)}^{2}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{{(1 + 4 x)}^{2} \cdot 4} + \frac{\frac{1}{4}}{1 + 4 x}$

Etapa 1.5.3

Mova $4$ para a esquerda de ${(1 + 4 x)}^{2}$ .

$- \frac{1}{4 {(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{\frac{1}{4}}{1 + 4 x}$

Etapa 1.5.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{1}{4 {(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 + 4 x}$

Etapa 1.5.5

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{1 + 4 x}$ .

$\int - \frac{1}{4 {(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - \frac{1}{4 {(1 + 4 x)}^{2}} d x + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{4 {(1 + 4 x)}^{2}} d x + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Etapa 4

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{{(1 + 4 x)}^{2}} d x) + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Etapa 5

Deixe $u_{1} = 1 + 4 x$ . Depois, $d u_{1} = 4 d x$ , então, $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u_{1} = 1 + 4 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $1 + 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 4 x]$

Etapa 5.1.2

Diferencie.

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Etapa 5.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + 4 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 5.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 5.1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 4 \cdot 1$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$0 + 4$

Etapa 5.1.4

Some $0$ e $4$ .

$4$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} \cdot \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Multiplique $\frac{1}{{u_{1}}^{2}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2} \cdot 4} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Etapa 6.2

Mova $4$ para a esquerda de ${u_{1}}^{2}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{4 {u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Etapa 7

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}) + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Etapa 8

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.1

Simplifique.

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Etapa 8.1.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 4} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Etapa 8.1.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$- \frac{1}{16} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Etapa 8.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 8.2.1

Mova ${u_{1}}^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- \frac{1}{16} \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Etapa 8.2.2

Multiplique os expoentes em ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 8.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{16} \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Etapa 8.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{16} \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{1}}^{- 2}$ com relação a $u_{1}$ é $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

Etapa 10

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{1 + 4 x} d x$

Etapa 11

Deixe $u_{2} = 1 + 4 x$ . Depois, $d u_{2} = 4 d x$ , então, $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 11.1

Deixe $u_{2} = 1 + 4 x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 11.1.1

Diferencie $1 + 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 4 x]$

Etapa 11.1.2

Diferencie.

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Etapa 11.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + 4 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 11.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 11.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 11.1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 11.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 4 \cdot 1$

Etapa 11.1.3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$0 + 4$

Etapa 11.1.4

Some $0$ e $4$ .

$4$

Etapa 11.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{4} d u_{2}$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Multiplique $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2} \cdot 4} d u_{2}$

Etapa 12.2

Mova $4$ para a esquerda de $u_{2}$ .

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{4 u_{2}} d u_{2}$

Etapa 13

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4 \cdot 4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 14.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{16} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 15

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{16} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Etapa 16

Simplifique.

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Etapa 16.1

Simplifique.

$- \frac{1}{16} (- \frac{1}{u_{1}}) + \frac{1}{16} \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 16.2

Simplifique.

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Etapa 16.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{16}) \frac{1}{u_{1}} + \frac{1}{16} \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 16.2.2

Multiplique $\frac{1}{16}$ por $1$ .

$\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{u_{1}} + \frac{1}{16} \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 16.2.3

Multiplique $\frac{1}{16}$ por $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{16 u_{1}} + \frac{1}{16} \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 17

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 17.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $1 + 4 x$ .

$\frac{1}{16 (1 + 4 x)} + \frac{1}{16} \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 17.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $1 + 4 x$ .

$\frac{1}{16 (1 + 4 x)} + \frac{1}{16} \ln (| 1 + 4 x |) + C$