Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{\cos^{2} (3 x)}$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{\cos^{2} (3 x)} d x$

Etapa 3

Converta de $\frac{1}{\cos^{2} (3 x)}$ em $\sec^{2} (3 x)$ .

$\int \sec^{2} (3 x) d x$

Etapa 4

Deixe $u = 3 x$ . Depois, $d u = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = 3 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 4.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 4.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \sec^{2} (u) \frac{1}{3} d u$

Etapa 5

Combine $\sec^{2} (u)$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u)}{3} d u$

Etapa 6

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int \sec^{2} (u) d u$

Etapa 7

Como a derivada de $\tan (u)$ é $\sec^{2} (u)$ , a integral de $\sec^{2} (u)$ é $\tan (u)$ .

$\frac{1}{3} (\tan (u) + C)$

Etapa 8

Simplifique.

$\frac{1}{3} \tan (u) + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$\frac{1}{3} \tan (3 x) + C$

Etapa 10

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{1}{\cos^{2} (3 x)}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} \tan (3 x) + C$