Cálculo Exemplos

$y = x^{2} e^{x} - x e^{x}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x} - x e^{x})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} e^{x} - x e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

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Etapa 3.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x e^{x}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x e^{x}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Etapa 3.3.5

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - (x e^{x} + e^{x})$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - (x e^{x}) - e^{x}$

Etapa 3.4.2

Combine os termos.

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Etapa 3.4.2.1

Subtraia $x e^{x}$ de $e^{x} (2 x)$ .

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Etapa 3.4.2.1.1

Mova $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - x e^{x} - e^{x}$

Etapa 3.4.2.1.2

Subtraia $x e^{x}$ de $2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 1 x e^{x} - e^{x}$

Etapa 3.4.2.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$x^{2} e^{x} + x e^{x} - e^{x}$

Etapa 3.4.3

Reordene os termos.

$e^{x} x^{2} + e^{x} x - e^{x}$

Etapa 3.4.4

Reordene os fatores em $e^{x} x^{2} + e^{x} x - e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + x e^{x} - e^{x}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = x^{2} e^{x} + x e^{x} - e^{x}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} e^{x} + x e^{x} - e^{x}$