Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 1} \frac{5 - 5 x^{2}}{4 \tan (3 x - 3)}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} 5 - 5 x^{2}}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 5 - lim_{x \to 1} 5 x^{2}}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

Etapa 1.2.1.2

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{5 - lim_{x \to 1} 5 x^{2}}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

Etapa 1.2.1.3

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{5 - 5 lim_{x \to 1} x^{2}}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

Etapa 1.2.1.4

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{5 - 5 {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{5 - 5 \cdot 1^{2}}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.3.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{5 - 5 \cdot 1}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

Etapa 1.2.3.1.2

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$\frac{5 - 5}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

Etapa 1.2.3.2

Subtraia $5$ de $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.3.1.1

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to 1} \tan (3 x - 3)}$

Etapa 1.3.1.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\frac{0}{4 \tan (lim_{x \to 1} 3 x - 3)}$

Etapa 1.3.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{4 \tan (lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 3)}$

Etapa 1.3.1.4

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{4 \tan (3 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 3)}$

Etapa 1.3.1.5

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{4 \tan (3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3)}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{0}{4 \tan (3 \cdot 1 - 1 \cdot 3)}$

Etapa 1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.3.1.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{0}{4 \tan (3 - 1 \cdot 3)}$

Etapa 1.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{0}{4 \tan (3 - 3)}$

Etapa 1.3.3.2

Subtraia $3$ de $3$ .

$\frac{0}{4 \tan (0)}$

Etapa 1.3.3.3

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{4 \cdot 0}$

Etapa 1.3.3.4

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.3.5

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{5 - 5 x^{2}}{4 \tan (3 x - 3)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [5 - 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [5 - 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 - 5 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

Etapa 3.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Etapa 3.4.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 5 (2 x)}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

Etapa 3.4.3

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 10 x}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

Etapa 3.5

Subtraia $10 x$ de $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

Etapa 3.6

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 \tan (3 x - 3)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\tan (3 x - 3)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \frac{d}{d x} [\tan (3 x - 3)]}$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 3 x - 3$ .

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Etapa 3.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x - 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 3])}$

Etapa 3.7.2

A derivada de $\tan (u)$ em relação a $u$ é $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [3 x - 3])}$

Etapa 3.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x - 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 (\sec^{2} (3 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x - 3])}$

Etapa 3.8

Remova os parênteses.

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \sec^{2} (3 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x - 3]}$

Etapa 3.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \sec^{2} (3 x - 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}$

Etapa 3.10

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \sec^{2} (3 x - 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}$

Etapa 3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \sec^{2} (3 x - 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}$

Etapa 3.12

Multiplique $3$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \sec^{2} (3 x - 3) (3 + \frac{d}{d x} [- 3])}$

Etapa 3.13

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \sec^{2} (3 x - 3) (3 + 0)}$

Etapa 3.14

Some $3$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \sec^{2} (3 x - 3) \cdot 3}$

Etapa 3.15

Multiplique $3$ por $4$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{12 \sec^{2} (3 x - 3)}$

Etapa 4

Cancele o fator comum de $- 10$ e $12$ .

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Etapa 4.1

Fatore $2$ de $- 10 x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (- 5 x)}{12 \sec^{2} (3 x - 3)}$

Etapa 4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.2.1

Fatore $2$ de $12 \sec^{2} (3 x - 3)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (- 5 x)}{2 (6 \sec^{2} (3 x - 3))}$

Etapa 4.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 1} \frac{2 (- 5 x)}{2 (6 \sec^{2} (3 x - 3))}$

Etapa 4.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 1} \frac{- 5 x}{6 \sec^{2} (3 x - 3)}$

Etapa 5

Mova o termo $\frac{- 5}{6}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- 5}{6} lim_{x \to 1} \frac{x}{\sec^{2} (3 x - 3)}$

Etapa 6

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} \sec^{2} (3 x - 3)}$

Etapa 7

Mova o expoente $2$ de $\sec^{2} (3 x - 3)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{{(lim_{x \to 1} \sec (3 x - 3))}^{2}}$

Etapa 8

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a secante é contínua.

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{\sec^{2} (lim_{x \to 1} 3 x - 3)}$

Etapa 9

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{\sec^{2} (lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 3)}$

Etapa 10

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{\sec^{2} (3 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 3)}$

Etapa 11

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{\sec^{2} (3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3)}$

Etapa 12

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 12.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{1}{\sec^{2} (3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3)}$

Etapa 12.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{1}{\sec^{2} (3 \cdot 1 - 1 \cdot 3)}$

Etapa 13

Simplifique a resposta.

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Etapa 13.1

Combine.

$\frac{- 5 \cdot 1}{6 \sec^{2} (3 \cdot 1 - 1 \cdot 3)}$

Etapa 13.2

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$\frac{- 5}{6 \sec^{2} (3 \cdot 1 - 1 \cdot 3)}$

Etapa 13.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 13.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.3.1.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{- 5}{6 \sec^{2} (3 - 1 \cdot 3)}$

Etapa 13.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{- 5}{6 \sec^{2} (3 - 3)}$

Etapa 13.3.2

Subtraia $3$ de $3$ .

$\frac{- 5}{6 \sec^{2} (0)}$

Etapa 13.3.3

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$\frac{- 5}{6 \cdot 1^{2}}$

Etapa 13.3.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{- 5}{6 \cdot 1}$

Etapa 13.4

Multiplique $6$ por $1$ .

$\frac{- 5}{6}$

Etapa 13.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{5}{6}$