Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{9 x^{2} + 4 x^{5}}{- 7 x^{2}}$

Etapa 1

Mova o termo $\frac{1}{- 7}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{9 x^{2} + 4 x^{5}}{x^{2}}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 9 x^{2} + 4 x^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 9 x^{2} + lim_{x \to 0} 4 x^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.2.2

Mova o termo $9$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{9 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 4 x^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.2.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 4 x^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.2.4

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 0} x^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.2.5

Mova o expoente $5$ de $x^{5}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 4 {(lim_{x \to 0} x)}^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.2.6

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{9 \cdot 0^{2} + 4 {(lim_{x \to 0} x)}^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.2.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{9 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.2.7

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.7.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{9 \cdot 0 + 4 \cdot 0^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.2.7.1.2

Multiplique $9$ por $0$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{0 + 4 \cdot 0^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.2.7.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{0 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.2.7.1.4

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.2.7.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

Etapa 2.1.3.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{9 x^{2} + 4 x^{5}}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 4 x^{5}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 4 x^{5}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 x^{2} + 4 x^{5}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{5}]$ .

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{5}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x^{2}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{5}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{9 \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [4 x^{5}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.3.3

Multiplique $2$ por $9$ .

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{18 x + \frac{d}{d x} [4 x^{5}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{5}]$ .

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Etapa 2.3.4.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{5}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{18 x + 4 \frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{18 x + 4 \cdot 5 x^{4}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.4.3

Multiplique $5$ por $4$ .

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{18 x + 20 x^{4}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.5

Reordene os termos.

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{20 x^{4} + 18 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{20 x^{4} + 18 x}{2 x}$

Etapa 3

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{20 x^{4} + 18 x}{x}$

Etapa 4

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 4.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} 20 x^{4} + 18 x}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 4.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} 20 x^{4} + lim_{x \to 0} 18 x}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 4.1.2.2

Mova o termo $20$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{20 lim_{x \to 0} x^{4} + lim_{x \to 0} 18 x}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 4.1.2.3

Mova o expoente $4$ de $x^{4}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{20 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} + lim_{x \to 0} 18 x}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 4.1.2.4

Mova o termo $18$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{20 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 18 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 4.1.2.5

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{20 \cdot 0^{4} + 18 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 4.1.2.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{20 \cdot 0^{4} + 18 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 4.1.2.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1.2.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.6.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{20 \cdot 0 + 18 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 4.1.2.6.1.2

Multiplique $20$ por $0$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{0 + 18 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 4.1.2.6.1.3

Multiplique $18$ por $0$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 4.1.2.6.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 4.1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

Etapa 4.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

Etapa 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{20 x^{4} + 18 x}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [20 x^{4} + 18 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 4.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [20 x^{4} + 18 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $20 x^{4} + 18 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [20 x^{4}] + \frac{d}{d x} [18 x]$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [20 x^{4}] + \frac{d}{d x} [18 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [20 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Como $20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $20 x^{4}$ em relação a $x$ é $20 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{20 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [18 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{20 \cdot 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [18 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.3.3

Multiplique $4$ por $20$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{80 x^{3} + \frac{d}{d x} [18 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [18 x]$ .

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Etapa 4.3.4.1

Como $18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $18 x$ em relação a $x$ é $18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{80 x^{3} + 18 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{80 x^{3} + 18 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.4.3

Multiplique $18$ por $1$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{80 x^{3} + 18}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{80 x^{3} + 18}{1}$

Etapa 4.4

Divida $80 x^{3} + 18$ por $1$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} 80 x^{3} + 18$

Etapa 5

Avalie o limite.

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Etapa 5.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} (lim_{x \to 0} 80 x^{3} + lim_{x \to 0} 18)$

Etapa 5.2

Mova o termo $80$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} (80 lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} 18)$

Etapa 5.3

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} (80 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} 18)$

Etapa 5.4

Avalie o limite de $18$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} (80 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 18)$

Etapa 6

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} (80 \cdot 0^{3} + 18)$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2} (80 \cdot 0^{3} + 18)$

Etapa 7.2

Multiplique $- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 7.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{7}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 7} (80 \cdot 0^{3} + 18)$

Etapa 7.2.2

Multiplique $2$ por $7$ .

$- \frac{1}{14} (80 \cdot 0^{3} + 18)$

Etapa 7.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{1}{14} (80 \cdot 0 + 18)$

Etapa 7.3.2

Multiplique $80$ por $0$ .

$- \frac{1}{14} (0 + 18)$

Etapa 7.4

Some $0$ e $18$ .

$- \frac{1}{14} \cdot 18$

Etapa 7.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{14}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{14} \cdot 18$

Etapa 7.5.2

Fatore $2$ de $14$ .

$\frac{- 1}{2 (7)} \cdot 18$

Etapa 7.5.3

Fatore $2$ de $18$ .

$\frac{- 1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot 9)$

Etapa 7.5.4

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot 9)$

Etapa 7.5.5

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{7} \cdot 9$

Etapa 7.6

Combine $\frac{- 1}{7}$ e $9$ .

$\frac{- 1 \cdot 9}{7}$

Etapa 7.7

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$\frac{- 9}{7}$

Etapa 7.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{9}{7}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{9}{7}$

Forma decimal:

$- 1.\overline{285714}$