Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 6} \frac{2 \sqrt{6} \sqrt{x} - 12}{x - 6}$

Etapa 1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$lim_{x \to 6} \frac{2 \sqrt{x \cdot 6} - 12}{x - 6}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 6} 2 \sqrt{x \cdot 6} - 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 2.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $6$ .

$\frac{lim_{x \to 6} 2 \sqrt{x \cdot 6} - lim_{x \to 6} 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Etapa 2.1.2.1.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 6} \sqrt{x \cdot 6} - lim_{x \to 6} 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Etapa 2.1.2.1.3

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{2 \sqrt{lim_{x \to 6} x \cdot 6} - lim_{x \to 6} 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Etapa 2.1.2.1.4

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 \sqrt{6 lim_{x \to 6} x} - lim_{x \to 6} 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Etapa 2.1.2.1.5

Avalie o limite de $12$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $6$ .

$\frac{2 \sqrt{6 lim_{x \to 6} x} - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Etapa 2.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $6$ por $x$ .

$\frac{2 \sqrt{6 \cdot 6} - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.3.1.1

Multiplique $6$ por $6$ .

$\frac{2 \sqrt{36} - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Etapa 2.1.2.3.1.2

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{6^{2}} - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Etapa 2.1.2.3.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{2 \cdot 6 - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Etapa 2.1.2.3.1.4

Multiplique $2$ por $6$ .

$\frac{12 - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Etapa 2.1.2.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $12$ .

$\frac{12 - 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Etapa 2.1.2.3.2

Subtraia $12$ de $12$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 2.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 6} x - lim_{x \to 6} 6}$

Etapa 2.1.3.1.2

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6}$

Etapa 2.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $6$ por $x$ .

$\frac{0}{6 - 1 \cdot 6}$

Etapa 2.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{0}{6 - 6}$

Etapa 2.1.3.3.2

Subtraia $6$ de $6$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 6} \frac{2 \sqrt{x \cdot 6} - 12}{x - 6} = lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x \cdot 6} - 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x \cdot 6} - 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 \sqrt{x \cdot 6} - 12$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x \cdot 6}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x \cdot 6}] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Etapa 2.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x \cdot 6}]$ .

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Etapa 2.3.3.1

Mova $6$ para a esquerda de $x$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{6 \cdot x}] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Etapa 2.3.3.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6 x}$ como ${(6 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 {(6 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Etapa 2.3.3.3

Fatore $6$ de $6 x$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 {(6 (x))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Etapa 2.3.3.4

Aplique a regra do produto a $6 (x)$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 (6^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Etapa 2.3.3.5

Como $2 \cdot 6^{\frac{1}{2}}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Etapa 2.3.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Etapa 2.3.3.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Etapa 2.3.3.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Etapa 2.3.3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Etapa 2.3.3.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.3.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Etapa 2.3.3.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Etapa 2.3.3.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Etapa 2.3.3.12

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Etapa 2.3.3.13

Combine $2$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{6^{\frac{1}{2}} \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Etapa 2.3.3.14

Combine $6^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}} (2 x^{- \frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Etapa 2.3.3.15

Mova $2$ para a esquerda de $6^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Etapa 2.3.3.16

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Etapa 2.3.3.17

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Etapa 2.3.3.18

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Etapa 2.3.4

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Etapa 2.3.5

Some $\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Etapa 2.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]}$

Etapa 2.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 6]}$

Etapa 2.3.8

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Etapa 2.3.9

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Etapa 2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 6} \frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Etapa 2.5

Converta expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 2.5.1

Reescreva $6^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{6}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\sqrt{6}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Etapa 2.5.2

Reescreva $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{x}} \cdot 1$

Etapa 2.6

Multiplique $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{x}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{x}}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Mova o termo $\sqrt{6}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\sqrt{6} lim_{x \to 6} \frac{1}{\sqrt{x}}$

Etapa 3.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $6$ .

$\sqrt{6} \frac{lim_{x \to 6} 1}{lim_{x \to 6} \sqrt{x}}$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $6$ .

$\sqrt{6} \frac{1}{lim_{x \to 6} \sqrt{x}}$

Etapa 3.4

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\sqrt{6} \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 6} x}}$

Etapa 4

Avalie o limite de $x$ substituindo $6$ por $x$ .

$\sqrt{6} \frac{1}{\sqrt{6}}$

Etapa 5

Cancele o fator comum de $\sqrt{6}$ .

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Etapa 5.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{6} \frac{1}{\sqrt{6}}$

Etapa 5.2

Reescreva a expressão.

$1$