Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x + 1}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x + 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Etapa 1.3

Some $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Etapa 1.5

Some $1$ e $1$ .

$u_{upper} = 2$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{2} \frac{u - 1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{u - 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Etapa 2.2

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int_{1}^{2} (u - 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 2.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{2} (u - 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 2.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int_{1}^{2} (u - 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Etapa 2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int_{1}^{2} (u - 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 3

Expanda $(u - 1) u^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{1}^{2} u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.2

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int_{1}^{2} u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{1}^{2} u^{1 - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int_{1}^{2} u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int_{1}^{2} u^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 3.6

Subtraia $1$ de $2$ .

$\int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 4

Reescreva $- 1 u^{- \frac{1}{2}}$ como $- u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2}} - u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{1}^{2} - u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2} - (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{2})$

Etapa 9

Substitua e simplifique.

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Etapa 9.1

Avalie $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ em $2$ e em $1$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{2})$

Etapa 9.2

Avalie $2 u^{\frac{1}{2}}$ em $2$ e em $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 9.3

Simplifique.

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Etapa 9.3.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $2^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 9.3.2

Multiplique $2$ por $2^{\frac{3}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 9.3.2.1

Multiplique $2$ por $2^{\frac{3}{2}}$ .

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Etapa 9.3.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 9.3.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 9.3.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 9.3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 9.3.2.4

Some $2$ e $3$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 9.3.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 9.3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 9.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 9.3.6

Multiplique $2$ por $2^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 9.3.6.1

Multiplique $2$ por $2^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 9.3.6.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 9.3.6.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{1 + \frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 9.3.6.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 9.3.6.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{\frac{2 + 1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 9.3.6.4

Some $2$ e $1$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 9.3.7

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 1)$

Etapa 9.3.8

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{\frac{3}{2}} - 2)$

Etapa 9.3.9

Para escrever $- (2^{\frac{3}{2}} - 2)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{\frac{3}{2}} - 2) \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 9.3.10

Combine $- (2^{\frac{3}{2}} - 2)$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} + \frac{- (2^{\frac{3}{2}} - 2) \cdot 3}{3}$

Etapa 9.3.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2 - (2^{\frac{3}{2}} - 2) \cdot 3}{3}$

Etapa 9.3.12

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2 - 3 (2^{\frac{3}{2}} - 2)}{3}$

Etapa 10

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2 - 3 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 3 \cdot - 2}{3}$

Etapa 10.2

Multiplique $- 3$ por $- 2$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2 - 3 \cdot 2^{\frac{3}{2}} + 6}{3}$

Etapa 10.3

Some $- 2$ e $6$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}} + 4 - 3 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3}$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2^{\frac{5}{2}} + 4 - 3 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3}$

Forma decimal:

$0.39052429 \dots$

Etapa 12