Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{{(3 x - 1)}^{5} + 1}{5 x}$

Etapa 1

Mova o termo $\frac{1}{5}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{{(3 x - 1)}^{5} + 1}{x}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(3 x - 1)}^{5} + 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 2.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(3 x - 1)}^{5} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.1.2

Mova o expoente $5$ de ${(3 x - 1)}^{5}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 3 x - 1)}^{5} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 3 x - lim_{x \to 0} 1)}^{5} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.1.4

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(3 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1)}^{5} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.1.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(3 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1)}^{5} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.1.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(3 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1)}^{5} + 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(3 \cdot 0 - 1 \cdot 1)}^{5} + 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.3.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.3.1.1.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(0 - 1 \cdot 1)}^{5} + 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.3.1.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(0 - 1)}^{5} + 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.3.1.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(- 1)}^{5} + 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.3.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $5$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 1 + 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.3.2

Some $- 1$ e $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{{(3 x - 1)}^{5} + 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{5} + 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{5} + 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de ${(3 x - 1)}^{5} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{5}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{5}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{5}]$ .

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Etapa 2.3.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = 3 x - 1$ .

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Etapa 2.3.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x - 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [3 x - 1] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{5 u^{4} \frac{d}{d x} [3 x - 1] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x - 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{5 {(3 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [3 x - 1] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{5 {(3 x - 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{5 {(3 x - 1)}^{4} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{5 {(3 x - 1)}^{4} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{5 {(3 x - 1)}^{4} (3 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3.6

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{5 {(3 x - 1)}^{4} (3 + 0) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3.7

Some $3$ e $0$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{5 {(3 x - 1)}^{4} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3.8

Multiplique $3$ por $5$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{15 {(3 x - 1)}^{4} + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{15 {(3 x - 1)}^{4} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.5

Some $15 {(3 x - 1)}^{4}$ e $0$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{15 {(3 x - 1)}^{4}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{15 {(3 x - 1)}^{4}}{1}$

Etapa 2.4

Divida $15 {(3 x - 1)}^{4}$ por $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} 15 {(3 x - 1)}^{4}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Mova o termo $15$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot 15 lim_{x \to 0} {(3 x - 1)}^{4}$

Etapa 3.2

Mova o expoente $4$ de ${(3 x - 1)}^{4}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{5} \cdot 15 {(lim_{x \to 0} 3 x - 1)}^{4}$

Etapa 3.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot 15 {(lim_{x \to 0} 3 x - lim_{x \to 0} 1)}^{4}$

Etapa 3.4

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot 15 {(3 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1)}^{4}$

Etapa 3.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot 15 {(3 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1)}^{4}$

Etapa 4

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot 15 {(3 \cdot 0 - 1 \cdot 1)}^{4}$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 5.1.1

Fatore $5$ de $15$ .

$\frac{1}{5} \cdot (5 (3)) {(3 \cdot 0 - 1 \cdot 1)}^{4}$

Etapa 5.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{5} \cdot (5 \cdot 3) {(3 \cdot 0 - 1 \cdot 1)}^{4}$

Etapa 5.1.3

Reescreva a expressão.

$3 {(3 \cdot 0 - 1 \cdot 1)}^{4}$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$3 {(0 - 1 \cdot 1)}^{4}$

Etapa 5.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$3 {(0 - 1)}^{4}$

Etapa 5.3

Subtraia $1$ de $0$ .

$3 {(- 1)}^{4}$

Etapa 5.4

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 5.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$