Cálculo Exemplos

$y = \sec (x) + \tan (x)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\sec (x) + \tan (x))$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sec (x) + \tan (x)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\sec (x)] + \frac{d}{d y} [\tan (x)]$ .

$\frac{d}{d y} [\sec (x)] + \frac{d}{d y} [\tan (x)]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d y} [\sec (x)]$ .

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Etapa 3.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = \sec (y)$ e $g (y) = x$ .

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Etapa 3.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\tan (x)]$

Etapa 3.2.1.2

A derivada de $\sec (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\tan (x)]$

Etapa 3.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x$ .

$\sec (x) \tan (x) \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\tan (x)]$

Etapa 3.2.2

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\sec (x) \tan (x) x' + \frac{d}{d y} [\tan (x)]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d y} [\tan (x)]$ .

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Etapa 3.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = \tan (y)$ e $g (y) = x$ .

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Etapa 3.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x$ .

$\sec (x) \tan (x) x' + \frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.3.1.2

A derivada de $\tan (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\sec (x) \tan (x) x' + \sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x$ .

$\sec (x) \tan (x) x' + \sec^{2} (x) \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.3.2

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\sec (x) \tan (x) x' + \sec^{2} (x) x'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$1 = \sec (x) \tan (x) x' + \sec^{2} (x) x'$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $\sec (x) \tan (x) x' + \sec^{2} (x) x' = 1$ .

$\sec (x) \tan (x) x' + \sec^{2} (x) x' = 1$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Reordene os fatores em $\sec (x) \tan (x) x' + \sec^{2} (x) x'$ .

$x' \sec (x) \tan (x) + x' \sec^{2} (x) = 1$

Etapa 5.3

Fatore $x' \sec (x)$ de $x' \sec (x) \tan (x) + x' \sec^{2} (x)$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $x' \sec (x)$ de $x' \sec^{2} (x)$ .

$x' \sec (x) \tan (x) + x' \sec (x) \sec (x) = 1$

Etapa 5.3.2

Fatore $x' \sec (x)$ de $x' \sec (x) \tan (x) + x' \sec (x) \sec (x)$ .

$x' \sec (x) (\tan (x) + \sec (x)) = 1$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $x' \sec (x) (\tan (x) + \sec (x)) = 1$ por $\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $x' \sec (x) (\tan (x) + \sec (x)) = 1$ por $\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))$ .

$\frac{x' \sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))} = \frac{1}{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $\sec (x)$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x' \sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))} = \frac{1}{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}$

Etapa 5.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x' (\tan (x) + \sec (x))}{\tan (x) + \sec (x)} = \frac{1}{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}$

Etapa 5.4.2.2

Cancele o fator comum de $\tan (x) + \sec (x)$ .

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Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x' (\tan (x) + \sec (x))}{\tan (x) + \sec (x)} = \frac{1}{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}$

Etapa 5.4.2.2.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{1}{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.3.1

Separe as frações.

$x' = \frac{1}{\tan (x) + \sec (x)} \cdot \frac{1}{\sec (x)}$

Etapa 5.4.3.2

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$x' = \frac{1}{\tan (x) + \sec (x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Etapa 5.4.3.3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$x' = \frac{1}{\tan (x) + \sec (x)} (1 \cos (x))$

Etapa 5.4.3.4

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$x' = \frac{1}{\tan (x) + \sec (x)} \cos (x)$

Etapa 5.4.3.5

Combine $\frac{1}{\tan (x) + \sec (x)}$ e $\cos (x)$ .

$x' = \frac{\cos (x)}{\tan (x) + \sec (x)}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{\cos (x)}{\tan (x) + \sec (x)}$