Cálculo Exemplos

$f (x) = {\begin{cases} \frac{x^{2} + 6 x + 9}{x + 3} & x \neq - 3 \\ 9 & x = - 3 \end{cases}$

Etapa 1

Encontre o limite de $\frac{x^{2} + 6 x + 9}{x + 3}$ à medida que $x$ se aproxima de $- 3$ .

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Etapa 1.1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to - 3} x^{2} + 6 x + 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Etapa 1.1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{lim_{x \to - 3} x^{2} + lim_{x \to - 3} 6 x + lim_{x \to - 3} 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Etapa 1.1.1.2.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + lim_{x \to - 3} 6 x + lim_{x \to - 3} 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Etapa 1.1.1.2.3

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + 6 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Etapa 1.1.1.2.4

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + 6 lim_{x \to - 3} x + 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Etapa 1.1.1.2.5

Avalie os limites substituindo $- 3$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.1.2.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 3$ por $x$ .

$\frac{{(- 3)}^{2} + 6 lim_{x \to - 3} x + 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Etapa 1.1.1.2.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 3$ por $x$ .

$\frac{{(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3 + 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Etapa 1.1.1.2.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.1.2.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.1.2.6.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$\frac{9 + 6 \cdot - 3 + 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Etapa 1.1.1.2.6.1.2

Multiplique $6$ por $- 3$ .

$\frac{9 - 18 + 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Etapa 1.1.1.2.6.2

Subtraia $18$ de $9$ .

$\frac{- 9 + 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Etapa 1.1.1.2.6.3

Some $- 9$ e $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Etapa 1.1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 3}$

Etapa 1.1.1.3.1.2

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

Etapa 1.1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 3$ por $x$ .

$\frac{0}{- 3 + 3}$

Etapa 1.1.1.3.3

Some $- 3$ e $3$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} + 6 x + 9}{x + 3} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Etapa 1.1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Etapa 1.1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 6 x + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Etapa 1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Etapa 1.1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Etapa 1.1.3.4.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Etapa 1.1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Etapa 1.1.3.4.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6 + \frac{d}{d x} [9]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Etapa 1.1.3.5

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6 + 0}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Etapa 1.1.3.6

Some $2 x + 6$ e $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

Etapa 1.1.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]}$

Etapa 1.1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{1 + \frac{d}{d x} [3]}$

Etapa 1.1.3.9

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{1 + 0}$

Etapa 1.1.3.10

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{1}$

Etapa 1.1.4

Divida $2 x + 6$ por $1$ .

$lim_{x \to - 3} 2 x + 6$

Etapa 1.2

Avalie o limite.

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Etapa 1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 6$

Etapa 1.2.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 6$

Etapa 1.2.3

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$2 lim_{x \to - 3} x + 6$

Etapa 1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 3$ por $x$ .

$2 \cdot - 3 + 6$

Etapa 1.4

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.4.1

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$- 6 + 6$

Etapa 1.4.2

Some $- 6$ e $6$ .

$0$

Etapa 2

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$9$

Etapa 3

Como o limite de $\frac{x^{2} + 6 x + 9}{x + 3}$ à medida que $x$ se aproxima de $- 3$ não é igual ao valor da função em $x = - 3$ , a função nãoé contínua em $x = - 3$ .

Não contínuo

Etapa 4