Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 x) e^{\sin (2 x)} d x$

Etapa 1

Deixe $u_{2} = \sin (2 x)$ . Depois, $d u_{2} = 2 \cos (2 x) d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = \cos (2 x) d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{2} = \sin (2 x)$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.2.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.3.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Etapa 1.1.3.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{2} = \sin (2 x)$ .

$u_{lower} = \sin (2 \cdot 0)$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Etapa 1.3.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{2} = \sin (2 x)$ .

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{4})$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.5.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

Etapa 1.5.1.2

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Etapa 1.5.1.3

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 1.5.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$u_{upper} = 1$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{1} e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 2

Combine $e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 4

A integral de $e^{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} e^{u_{2}}]_{0}^{1}$

Etapa 5

Substitua e simplifique.

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Etapa 5.1

Avalie $e^{u_{2}}$ em $1$ e em $0$ .

$\frac{1}{2} ((e^{1}) - e^{0})$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Simplifique.

$\frac{1}{2} (e - e^{0})$

Etapa 5.2.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1}{2} (e - 1 \cdot 1)$

Etapa 5.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (e - 1)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} e + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Etapa 6.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $e$ .

$\frac{e}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Etapa 6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{e}{2} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 6.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{e}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{e}{2} - \frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.85914091 \dots$