Cálculo Exemplos

$y = x^{2} {(2 x^{3} - 1)}^{3}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(2 x^{3} - 1)}^{3}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} - 1)}^{3}] + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 2 x^{3} - 1$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x^{3} - 1$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 1]) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 1]) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x^{3} - 1$ .

$x^{2} (3 {(2 x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 1]) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x^{2} (3 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{2} (3 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$x^{2} (3 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$x^{2} (3 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{2} (3 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (6 x^{2} + 0)) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.6.1

Some $6 x^{2}$ e $0$ .

$x^{2} (3 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (6 x^{2})) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.6.2

Multiplique $6$ por $3$ .

$x^{2} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2} x^{2}) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1

Mova $x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2}) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{2 + 2} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2}) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.3

Some $2$ e $2$ .

$x^{4} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2}) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{4} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2}) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} (2 x)$

Etapa 6

Mova $2$ para a esquerda de ${(2 x^{3} - 1)}^{3}$ .

$x^{4} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2}) + 2 \cdot {(2 x^{3} - 1)}^{3} x$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Fatore $x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2}$ de $x^{4} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2}) + 2 {(2 x^{3} - 1)}^{3} x$ .

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Etapa 7.1.1

Fatore $x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2}$ de $x^{4} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2})$ .

$x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (x^{3} \cdot (9)) + 2 {(2 x^{3} - 1)}^{3} x$

Etapa 7.1.2

Fatore $x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2}$ de $2 {(2 x^{3} - 1)}^{3} x$ .

$x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (x^{3} \cdot (9)) + x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (2 x^{3} - 1)$

Etapa 7.1.3

Fatore $x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2}$ de $x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (x^{3} \cdot (9)) + x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (2 x^{3} - 1)$ .

$x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (x^{3} \cdot (9) + 2 x^{3} - 1)$

Etapa 7.2

Combine os termos.

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Etapa 7.2.1

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$2 \cdot x {(2 x^{3} - 1)}^{2} (x^{3} \cdot (9) + 2 x^{3} - 1)$

Etapa 7.2.2

Mova $9$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$2 x {(2 x^{3} - 1)}^{2} (9 \cdot x^{3} + 2 x^{3} - 1)$

Etapa 7.2.3

Some $9 x^{3}$ e $2 x^{3}$ .

$2 x {(2 x^{3} - 1)}^{2} (11 x^{3} - 1)$

Etapa 7.3

Reescreva ${(2 x^{3} - 1)}^{2}$ como $(2 x^{3} - 1) (2 x^{3} - 1)$ .

$2 x ((2 x^{3} - 1) (2 x^{3} - 1)) (11 x^{3} - 1)$

Etapa 7.4

Expanda $(2 x^{3} - 1) (2 x^{3} - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 7.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x (2 x^{3} (2 x^{3} - 1) - 1 (2 x^{3} - 1)) (11 x^{3} - 1)$

Etapa 7.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x (2 x^{3} (2 x^{3}) + 2 x^{3} \cdot - 1 - 1 (2 x^{3} - 1)) (11 x^{3} - 1)$

Etapa 7.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x (2 x^{3} (2 x^{3}) + 2 x^{3} \cdot - 1 - 1 (2 x^{3}) - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

Etapa 7.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 7.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.5.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 x (2 \cdot 2 x^{3} x^{3} + 2 x^{3} \cdot - 1 - 1 (2 x^{3}) - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

Etapa 7.5.1.2

Multiplique $x^{3}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.5.1.2.1

Mova $x^{3}$ .

$2 x (2 \cdot 2 (x^{3} x^{3}) + 2 x^{3} \cdot - 1 - 1 (2 x^{3}) - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

Etapa 7.5.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x (2 \cdot 2 x^{3 + 3} + 2 x^{3} \cdot - 1 - 1 (2 x^{3}) - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

Etapa 7.5.1.2.3

Some $3$ e $3$ .

$2 x (2 \cdot 2 x^{6} + 2 x^{3} \cdot - 1 - 1 (2 x^{3}) - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

Etapa 7.5.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 x (4 x^{6} + 2 x^{3} \cdot - 1 - 1 (2 x^{3}) - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

Etapa 7.5.1.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 x (4 x^{6} - 2 x^{3} - 1 (2 x^{3}) - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

Etapa 7.5.1.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 x (4 x^{6} - 2 x^{3} - 2 x^{3} - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

Etapa 7.5.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$2 x (4 x^{6} - 2 x^{3} - 2 x^{3} + 1) (11 x^{3} - 1)$

Etapa 7.5.2

Subtraia $2 x^{3}$ de $- 2 x^{3}$ .

$2 x (4 x^{6} - 4 x^{3} + 1) (11 x^{3} - 1)$

Etapa 7.6

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 x (4 x^{6}) + 2 x (- 4 x^{3}) + 2 x \cdot 1) (11 x^{3} - 1)$

Etapa 7.7

Simplifique.

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Etapa 7.7.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(2 \cdot 4 x \cdot x^{6} + 2 x (- 4 x^{3}) + 2 x \cdot 1) (11 x^{3} - 1)$

Etapa 7.7.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(2 \cdot 4 x \cdot x^{6} + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{3} + 2 x \cdot 1) (11 x^{3} - 1)$

Etapa 7.7.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$(2 \cdot 4 x \cdot x^{6} + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{3} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

Etapa 7.8

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.8.1

Multiplique $x$ por $x^{6}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.8.1.1

Mova $x^{6}$ .

$(2 \cdot 4 (x^{6} x) + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{3} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

Etapa 7.8.1.2

Multiplique $x^{6}$ por $x$ .

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Etapa 7.8.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(2 \cdot 4 (x^{6} x^{1}) + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{3} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

Etapa 7.8.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(2 \cdot 4 x^{6 + 1} + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{3} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

Etapa 7.8.1.3

Some $6$ e $1$ .

$(2 \cdot 4 x^{7} + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{3} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

Etapa 7.8.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$(8 x^{7} + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{3} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

Etapa 7.8.3

Multiplique $x$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.8.3.1

Mova $x^{3}$ .

$(8 x^{7} + 2 \cdot - 4 (x^{3} x) + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

Etapa 7.8.3.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

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Etapa 7.8.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(8 x^{7} + 2 \cdot - 4 (x^{3} x^{1}) + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

Etapa 7.8.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(8 x^{7} + 2 \cdot - 4 x^{3 + 1} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

Etapa 7.8.3.3

Some $3$ e $1$ .

$(8 x^{7} + 2 \cdot - 4 x^{4} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

Etapa 7.8.4

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$(8 x^{7} - 8 x^{4} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

Etapa 7.9

Expanda $(8 x^{7} - 8 x^{4} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$8 x^{7} (11 x^{3}) + 8 x^{7} \cdot - 1 - 8 x^{4} (11 x^{3}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Etapa 7.10

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.10.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$8 \cdot 11 x^{7} x^{3} + 8 x^{7} \cdot - 1 - 8 x^{4} (11 x^{3}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Etapa 7.10.2

Multiplique $x^{7}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.10.2.1

Mova $x^{3}$ .

$8 \cdot 11 (x^{3} x^{7}) + 8 x^{7} \cdot - 1 - 8 x^{4} (11 x^{3}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Etapa 7.10.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$8 \cdot 11 x^{3 + 7} + 8 x^{7} \cdot - 1 - 8 x^{4} (11 x^{3}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Etapa 7.10.2.3

Some $3$ e $7$ .

$8 \cdot 11 x^{10} + 8 x^{7} \cdot - 1 - 8 x^{4} (11 x^{3}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Etapa 7.10.3

Multiplique $8$ por $11$ .

$88 x^{10} + 8 x^{7} \cdot - 1 - 8 x^{4} (11 x^{3}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Etapa 7.10.4

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 8 x^{4} (11 x^{3}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Etapa 7.10.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 8 \cdot 11 x^{4} x^{3} - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Etapa 7.10.6

Multiplique $x^{4}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.10.6.1

Mova $x^{3}$ .

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 8 \cdot 11 (x^{3} x^{4}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Etapa 7.10.6.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 8 \cdot 11 x^{3 + 4} - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Etapa 7.10.6.3

Some $3$ e $4$ .

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 8 \cdot 11 x^{7} - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Etapa 7.10.7

Multiplique $- 8$ por $11$ .

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Etapa 7.10.8

Multiplique $- 1$ por $- 8$ .

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

Etapa 7.10.9

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 2 \cdot 11 x \cdot x^{3} + 2 x \cdot - 1$

Etapa 7.10.10

Multiplique $x$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.10.10.1

Mova $x^{3}$ .

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 2 \cdot 11 (x^{3} x) + 2 x \cdot - 1$

Etapa 7.10.10.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

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Etapa 7.10.10.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 2 \cdot 11 (x^{3} x^{1}) + 2 x \cdot - 1$

Etapa 7.10.10.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 2 \cdot 11 x^{3 + 1} + 2 x \cdot - 1$

Etapa 7.10.10.3

Some $3$ e $1$ .

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 2 \cdot 11 x^{4} + 2 x \cdot - 1$

Etapa 7.10.11

Multiplique $2$ por $11$ .

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 22 x^{4} + 2 x \cdot - 1$

Etapa 7.10.12

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 22 x^{4} - 2 x$

Etapa 7.11

Subtraia $88 x^{7}$ de $- 8 x^{7}$ .

$88 x^{10} - 96 x^{7} + 8 x^{4} + 22 x^{4} - 2 x$

Etapa 7.12

Some $8 x^{4}$ e $22 x^{4}$ .

$88 x^{10} - 96 x^{7} + 30 x^{4} - 2 x$