Cálculo Exemplos

$\cos^{2} (\frac{x}{2})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (\frac{x}{2})$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\cos (\frac{x}{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\cos (\frac{x}{2})$ .

$2 \cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\frac{x}{2}$ .

$2 \cos (\frac{x}{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Etapa 2.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$2 \cos (\frac{x}{2}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\frac{x}{2}$ .

$2 \cos (\frac{x}{2}) (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \cos (\frac{x}{2}) (\sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Etapa 3.2

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.3.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 2$ .

$\frac{- 2}{2} \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.2

Combine $\frac{- 2}{2}$ e $\cos (\frac{x}{2})$ .

$\frac{- 2 \cos (\frac{x}{2})}{2} \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.3

Combine $\frac{- 2 \cos (\frac{x}{2})}{2}$ e $\sin (\frac{x}{2})$ .

$\frac{- 2 \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.4

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 3.3.4.1

Fatore $2$ de $- 2 \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2})$ .

$\frac{2 (- \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2}))}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.3.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2}))}{2 (1)} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2}))}{2 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2})}{1} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.4.2.4

Divida $- \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2})$ por $1$ .

$- \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2}) \cdot 1$

Etapa 3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2})$