Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{10}{3} x^{3} - x^{2} - 8 x + 48$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{10}{3} x^{3} - x^{2} - 8 x + 48$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $\frac{10}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{10}{3} x^{3}$ em relação a $x$ é $\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{10}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 1.2.3

Combine $3$ e $\frac{10}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 10}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 1.2.4

Multiplique $3$ por $10$ .

$\frac{30}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 1.2.5

Combine $\frac{30}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{30 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 1.2.6

Cancele o fator comum de $30$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Fatore $3$ de $30 x^{2}$ .

$\frac{3 (10 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 1.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (10 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 1.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (10 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 1.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{10 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 1.2.6.2.4

Divida $10 x^{2}$ por $1$ .

$10 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$10 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$10 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$10 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x^{2} - 2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$10 x^{2} - 2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 1.4.3

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$10 x^{2} - 2 x - 8 + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 1.5

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Como $48$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $48$ em relação a $x$ é $0$ .

$10 x^{2} - 2 x - 8 + 0$

Etapa 1.5.2

Some $10 x^{2} - 2 x - 8$ e $0$ .

$10 x^{2} - 2 x - 8$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $10 x^{2} - 2 x - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [10 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 x^{2}$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 10 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $10$ .

$f'' (x) = 20 x + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 20 x - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 20 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = 20 x - 2 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 20 x - 2 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $20 x - 2$ e $0$ .

$f'' (x) = 20 x - 2$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$10 x^{2} - 2 x - 8 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

$\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $\frac{10}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{10}{3} x^{3}$ em relação a $x$ é $\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{10}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 4.1.2.3

Combine $3$ e $\frac{10}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 10}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 4.1.2.4

Multiplique $3$ por $10$ .

$\frac{30}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 4.1.2.5

Combine $\frac{30}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{30 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 4.1.2.6

Cancele o fator comum de $30$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.6.1

Fatore $3$ de $30 x^{2}$ .

$\frac{3 (10 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 4.1.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.6.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (10 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 4.1.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (10 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 4.1.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{10 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 4.1.2.6.2.4

Divida $10 x^{2}$ por $1$ .

$10 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$10 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$10 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$10 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 4.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x^{2} - 2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 4.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$10 x^{2} - 2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 4.1.4.3

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$10 x^{2} - 2 x - 8 + \frac{d}{d x} [48]$

Etapa 4.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1

Como $48$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $48$ em relação a $x$ é $0$ .

$10 x^{2} - 2 x - 8 + 0$

Etapa 4.1.5.2

Some $10 x^{2} - 2 x - 8$ e $0$ .

$f' (x) = 10 x^{2} - 2 x - 8$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $10 x^{2} - 2 x - 8$ .

$10 x^{2} - 2 x - 8$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $10 x^{2} - 2 x - 8 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$10 x^{2} - 2 x - 8 = 0$

Etapa 5.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $2$ de $10 x^{2} - 2 x - 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Fatore $2$ de $10 x^{2}$ .

$2 (5 x^{2}) - 2 x - 8 = 0$

Etapa 5.2.1.2

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$2 (5 x^{2}) + 2 (- x) - 8 = 0$

Etapa 5.2.1.3

Fatore $2$ de $- 8$ .

$2 (5 x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- 4) = 0$

Etapa 5.2.1.4

Fatore $2$ de $2 (5 x^{2}) + 2 (- x)$ .

$2 (5 x^{2} - x) + 2 (- 4) = 0$

Etapa 5.2.1.5

Fatore $2$ de $2 (5 x^{2} - x) + 2 (- 4)$ .

$2 (5 x^{2} - x - 4) = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 5 \cdot - 4 = - 20$ e cuja soma é $b = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$2 (5 x^{2} - (x) - 4) = 0$

Etapa 5.2.2.1.1.2

Reescreva $- 1$ como $4$ mais $- 5$

$2 (5 x^{2} + (4 - 5) x - 4) = 0$

Etapa 5.2.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (5 x^{2} + 4 x - 5 x - 4) = 0$

Etapa 5.2.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$2 ((5 x^{2} + 4 x) - 5 x - 4) = 0$

Etapa 5.2.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$2 (x (5 x + 4) - (5 x + 4)) = 0$

Etapa 5.2.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $5 x + 4$ .

$2 ((5 x + 4) (x - 1)) = 0$

Etapa 5.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 (5 x + 4) (x - 1) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$5 x + 4 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 5.4

Defina $5 x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Defina $5 x + 4$ como igual a $0$ .

$5 x + 4 = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $5 x + 4 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$5 x = - 4$

Etapa 5.4.2.2

Divida cada termo em $5 x = - 4$ por $5$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.1

Divida cada termo em $5 x = - 4$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 4}{5}$

Etapa 5.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 4}{5}$

Etapa 5.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{5}$

Etapa 5.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{4}{5}$

Etapa 5.5

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 5.5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $2 (5 x + 4) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{4}{5}, 1$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = - \frac{4}{5}, 1$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{4}{5}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$20 (- \frac{4}{5}) - 2$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{4}{5}$ para o numerador.

$20 (\frac{- 4}{5}) - 2$

Etapa 9.1.1.2

Fatore $5$ de $20$ .

$5 (4) \frac{- 4}{5} - 2$

Etapa 9.1.1.3

Cancele o fator comum.

$5 \cdot 4 \frac{- 4}{5} - 2$

Etapa 9.1.1.4

Reescreva a expressão.

$4 \cdot - 4 - 2$

Etapa 9.1.2

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$- 16 - 2$

Etapa 9.2

Subtraia $2$ de $- 16$ .

$- 18$

Etapa 10

$x = - \frac{4}{5}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{4}{5}$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = - \frac{4}{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{4}{5}$ na expressão.

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{10}{3} \cdot {(- \frac{4}{5})}^{3} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{4}{5}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{10}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{4}{5})}^{3}) - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Etapa 11.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{4}{5}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{10}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} (\frac{4^{3}}{5^{3}})) - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Etapa 11.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{10}{3} \cdot (- \frac{4^{3}}{5^{3}}) - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Etapa 11.2.1.3

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{10}{3} \cdot (- \frac{64}{5^{3}}) - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Etapa 11.2.1.4

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{10}{3} \cdot (- \frac{64}{125}) - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Etapa 11.2.1.5

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{64}{125}$ para o numerador.

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{10}{3} \cdot \frac{- 64}{125} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Etapa 11.2.1.5.2

Fatore $5$ de $10$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{5 (2)}{3} \cdot \frac{- 64}{125} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Etapa 11.2.1.5.3

Fatore $5$ de $125$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{5 \cdot 2}{3} \cdot \frac{- 64}{5 \cdot 25} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Etapa 11.2.1.5.4

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{5 \cdot 2}{3} \cdot \frac{- 64}{5 \cdot 25} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Etapa 11.2.1.5.5

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{- 64}{25} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Etapa 11.2.1.6

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{- 64}{25}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{2 \cdot - 64}{3 \cdot 25} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Etapa 11.2.1.7

Multiplique $2$ por $- 64$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{- 128}{3 \cdot 25} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Etapa 11.2.1.8

Multiplique $3$ por $25$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{- 128}{75} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Etapa 11.2.1.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - {(- \frac{4}{5})}^{2} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Etapa 11.2.1.10

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.10.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{4}{5}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - ({(- 1)}^{2} {(\frac{4}{5})}^{2}) - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Etapa 11.2.1.10.2

Aplique a regra do produto a $\frac{4}{5}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - ({(- 1)}^{2} (\frac{4^{2}}{5^{2}})) - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Etapa 11.2.1.11

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.11.1

Mova ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{4^{2}}{5^{2}}) - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Etapa 11.2.1.11.2

Multiplique ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.11.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{4^{2}}{5^{2}})) - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Etapa 11.2.1.11.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} + {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{4^{2}}{5^{2}}) - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Etapa 11.2.1.11.3

Some $2$ e $1$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} + {(- 1)}^{3} (\frac{4^{2}}{5^{2}}) - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Etapa 11.2.1.12

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{4^{2}}{5^{2}} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Etapa 11.2.1.13

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16}{5^{2}} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Etapa 11.2.1.14

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16}{25} - 8 (- \frac{4}{5}) + 48$

Etapa 11.2.1.15

Multiplique $- 8 (- \frac{4}{5})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.15.1

Multiplique $- 1$ por $- 8$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16}{25} + 8 (\frac{4}{5}) + 48$

Etapa 11.2.1.15.2

Combine $8$ e $\frac{4}{5}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16}{25} + \frac{8 \cdot 4}{5} + 48$

Etapa 11.2.1.15.3

Multiplique $8$ por $4$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16}{25} + \frac{32}{5} + 48$

Etapa 11.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Multiplique $\frac{16}{25}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - (\frac{16}{25} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{32}{5} + 48$

Etapa 11.2.2.2

Multiplique $\frac{16}{25}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{25 \cdot 3} + \frac{32}{5} + 48$

Etapa 11.2.2.3

Multiplique $\frac{32}{5}$ por $\frac{15}{15}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{25 \cdot 3} + \frac{32}{5} \cdot \frac{15}{15} + 48$

Etapa 11.2.2.4

Multiplique $\frac{32}{5}$ por $\frac{15}{15}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{25 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 15}{5 \cdot 15} + 48$

Etapa 11.2.2.5

Escreva $48$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{25 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 15}{5 \cdot 15} + \frac{48}{1}$

Etapa 11.2.2.6

Multiplique $\frac{48}{1}$ por $\frac{75}{75}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{25 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 15}{5 \cdot 15} + \frac{48}{1} \cdot \frac{75}{75}$

Etapa 11.2.2.7

Multiplique $\frac{48}{1}$ por $\frac{75}{75}$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{25 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 15}{5 \cdot 15} + \frac{48 \cdot 75}{75}$

Etapa 11.2.2.8

Reordene os fatores de $25 \cdot 3$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 25} + \frac{32 \cdot 15}{5 \cdot 15} + \frac{48 \cdot 75}{75}$

Etapa 11.2.2.9

Multiplique $3$ por $25$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{75} + \frac{32 \cdot 15}{5 \cdot 15} + \frac{48 \cdot 75}{75}$

Etapa 11.2.2.10

Multiplique $5$ por $15$ .

$f (- \frac{4}{5}) = - \frac{128}{75} - \frac{16 \cdot 3}{75} + \frac{32 \cdot 15}{75} + \frac{48 \cdot 75}{75}$

Etapa 11.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{- 128 - 16 \cdot 3 + 32 \cdot 15 + 48 \cdot 75}{75}$

Etapa 11.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.4.1

Multiplique $- 16$ por $3$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{- 128 - 48 + 32 \cdot 15 + 48 \cdot 75}{75}$

Etapa 11.2.4.2

Multiplique $32$ por $15$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{- 128 - 48 + 480 + 48 \cdot 75}{75}$

Etapa 11.2.4.3

Multiplique $48$ por $75$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{- 128 - 48 + 480 + 3600}{75}$

Etapa 11.2.5

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 11.2.5.1

Subtraia $48$ de $- 128$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{- 176 + 480 + 3600}{75}$

Etapa 11.2.5.2

Some $- 176$ e $480$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{304 + 3600}{75}$

Etapa 11.2.5.3

Some $304$ e $3600$ .

$f (- \frac{4}{5}) = \frac{3904}{75}$

Etapa 11.2.6

A resposta final é $\frac{3904}{75}$ .

$y = \frac{3904}{75}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$20 (1) - 2$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 13.1

Multiplique $20$ por $1$ .

$20 - 2$

Etapa 13.2

Subtraia $2$ de $20$ .

$18$

Etapa 14

$x = 1$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 1$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = 1$ .

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Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \frac{10}{3} \cdot {(1)}^{3} - {(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 48$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = \frac{10}{3} \cdot 1 - {(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 48$

Etapa 15.2.1.2

Multiplique $\frac{10}{3}$ por $1$ .

$f (1) = \frac{10}{3} - {(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 48$

Etapa 15.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = \frac{10}{3} - 1 \cdot 1 - 8 \cdot 1 + 48$

Etapa 15.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (1) = \frac{10}{3} - 1 - 8 \cdot 1 + 48$

Etapa 15.2.1.5

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$f (1) = \frac{10}{3} - 1 - 8 + 48$

Etapa 15.2.2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 15.2.2.1

Escreva $- 1$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1}{1} - 8 + 48$

Etapa 15.2.2.2

Multiplique $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{3}{3} - 8 + 48$

Etapa 15.2.2.3

Multiplique $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} - 8 + 48$

Etapa 15.2.2.4

Escreva $- 8$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{- 8}{1} + 48$

Etapa 15.2.2.5

Multiplique $\frac{- 8}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{3}{3} + 48$

Etapa 15.2.2.6

Multiplique $\frac{- 8}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + 48$

Etapa 15.2.2.7

Escreva $48$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{48}{1}$

Etapa 15.2.2.8

Multiplique $\frac{48}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{48}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 15.2.2.9

Multiplique $\frac{48}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{10}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{48 \cdot 3}{3}$

Etapa 15.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (1) = \frac{10 - 1 \cdot 3 - 8 \cdot 3 + 48 \cdot 3}{3}$

Etapa 15.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.4.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f (1) = \frac{10 - 3 - 8 \cdot 3 + 48 \cdot 3}{3}$

Etapa 15.2.4.2

Multiplique $- 8$ por $3$ .

$f (1) = \frac{10 - 3 - 24 + 48 \cdot 3}{3}$

Etapa 15.2.4.3

Multiplique $48$ por $3$ .

$f (1) = \frac{10 - 3 - 24 + 144}{3}$

Etapa 15.2.5

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.5.1

Subtraia $3$ de $10$ .

$f (1) = \frac{7 - 24 + 144}{3}$

Etapa 15.2.5.2

Subtraia $24$ de $7$ .

$f (1) = \frac{- 17 + 144}{3}$

Etapa 15.2.5.3

Some $- 17$ e $144$ .

$f (1) = \frac{127}{3}$

Etapa 15.2.6

A resposta final é $\frac{127}{3}$ .

$y = \frac{127}{3}$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{10}{3} x^{3} - x^{2} - 8 x + 48$ .

$(- \frac{4}{5}, \frac{3904}{75})$ é um máximo local

$(1, \frac{127}{3})$ é um mínimo local

Etapa 17