Cálculo Exemplos

$x^{4} + \sin (y) = x^{3} y^{2}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{4} + \sin (y)) = \frac{d}{d x} (x^{3} y^{2})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + \sin (y)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$4 x^{3} + \cos (u) \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$4 x^{3} + \cos (y) \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 x^{3} + \cos (y) y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y^{2}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{3} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$x^{3} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.3

Mova $2$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$2 \cdot x^{3} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x^{3} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 x^{3} y y' + y^{2} (3 x^{2})$

Etapa 3.6

Reordene.

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Etapa 3.6.1

Mova $3$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$2 x^{3} y y' + 3 \cdot y^{2} x^{2}$

Etapa 3.6.2

Reordene os termos.

$2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$4 x^{3} + \cos (y) y' = 2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2}$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.1

Reordene os fatores em $4 x^{3} + \cos (y) y'$ .

$4 x^{3} + y' \cos (y) = 2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2}$

Etapa 5.2

Subtraia $2 x^{3} y y'$ dos dois lados da equação.

$4 x^{3} + y' \cos (y) - 2 x^{3} y y' = 3 x^{2} y^{2}$

Etapa 5.3

Subtraia $4 x^{3}$ dos dois lados da equação.

$y' \cos (y) - 2 x^{3} y y' = 3 x^{2} y^{2} - 4 x^{3}$

Etapa 5.4

Fatore $y'$ de $y' \cos (y) - 2 x^{3} y y'$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $y'$ de $y' \cos (y)$ .

$y' (\cos (y)) - 2 x^{3} y y' = 3 x^{2} y^{2} - 4 x^{3}$

Etapa 5.4.2

Fatore $y'$ de $- 2 x^{3} y y'$ .

$y' (\cos (y)) + y' (- 2 x^{3} y) = 3 x^{2} y^{2} - 4 x^{3}$

Etapa 5.4.3

Fatore $y'$ de $y' (\cos (y)) + y' (- 2 x^{3} y)$ .

$y' (\cos (y) - 2 x^{3} y) = 3 x^{2} y^{2} - 4 x^{3}$

Etapa 5.5

Divida cada termo em $y' (\cos (y) - 2 x^{3} y) = 3 x^{2} y^{2} - 4 x^{3}$ por $\cos (y) - 2 x^{3} y$ e simplifique.

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Etapa 5.5.1

Divida cada termo em $y' (\cos (y) - 2 x^{3} y) = 3 x^{2} y^{2} - 4 x^{3}$ por $\cos (y) - 2 x^{3} y$ .

$\frac{y' (\cos (y) - 2 x^{3} y)}{\cos (y) - 2 x^{3} y} = \frac{3 x^{2} y^{2}}{\cos (y) - 2 x^{3} y} + \frac{- 4 x^{3}}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de $\cos (y) - 2 x^{3} y$ .

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Etapa 5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (\cos (y) - 2 x^{3} y)}{\cos (y) - 2 x^{3} y} = \frac{3 x^{2} y^{2}}{\cos (y) - 2 x^{3} y} + \frac{- 4 x^{3}}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$

Etapa 5.5.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2} y^{2}}{\cos (y) - 2 x^{3} y} + \frac{- 4 x^{3}}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$

Etapa 5.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{3 x^{2} y^{2}}{\cos (y) - 2 x^{3} y} - \frac{4 x^{3}}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$

Etapa 5.5.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{3 x^{2} y^{2} - 4 x^{3}}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$

Etapa 5.5.3.3

Fatore $x^{2}$ de $3 x^{2} y^{2} - 4 x^{3}$ .

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Etapa 5.5.3.3.1

Fatore $x^{2}$ de $3 x^{2} y^{2}$ .

$y' = \frac{x^{2} (3 y^{2}) - 4 x^{3}}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$

Etapa 5.5.3.3.2

Fatore $x^{2}$ de $- 4 x^{3}$ .

$y' = \frac{x^{2} (3 y^{2}) + x^{2} (- 4 x)}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$

Etapa 5.5.3.3.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (3 y^{2}) + x^{2} (- 4 x)$ .

$y' = \frac{x^{2} (3 y^{2} - 4 x)}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (3 y^{2} - 4 x)}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$