Cálculo Exemplos

$\sqrt{\frac{1}{x}}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{\frac{1}{x}}$ como ${(\frac{1}{x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{1}{x})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 7

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 7.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{- \frac{1}{2}} (- x^{- 2})$

Etapa 9

Combine frações.

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Etapa 9.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- 2}$ .

${(\frac{1}{x})}^{- \frac{1}{2}} (- \frac{x^{- 2}}{2})$

Etapa 9.2

Mova $x^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(\frac{1}{x})}^{- \frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{2}})$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Altere o sinal do expoente reescrevendo a base como seu inverso.

$x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{2}})$

Etapa 10.2

Combine os termos.

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Etapa 10.2.1

Combine $x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{2}}$

Etapa 10.2.2

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{1}{2 x^{2} x^{- \frac{1}{2}}}$

Etapa 10.2.3

Multiplique $x^{2}$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 10.2.3.1

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{2})}$

Etapa 10.2.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1}{2 x^{- \frac{1}{2} + 2}}$

Etapa 10.2.3.3

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}$

Etapa 10.2.3.4

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}$

Etapa 10.2.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}$

Etapa 10.2.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.2.3.6.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{- 1 + 4}{2}}}$

Etapa 10.2.3.6.2

Some $- 1$ e $4$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$