Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 x^{2} \sin (x^{3} + 2003)$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int 3 x^{2} \sin (x^{3} + 2003) d x$

Etapa 3

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int x^{2} \sin (x^{3} + 2003) d x$

Etapa 4

Deixe $u = x^{3} + 2003$ . Depois, $d u = 3 x^{2} d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Deixe $u = x^{3} + 2003$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie $x^{3} + 2003$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 2003]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 2003$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2003]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2003]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2003]$

Etapa 4.1.4

Como $2003$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2003$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Etapa 4.1.5

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2}$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$3 \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Etapa 5

Combine $\sin (u)$ e $\frac{1}{3}$ .

$3 \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

Etapa 6

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$3 (\frac{1}{3} \int \sin (u) d u)$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$\frac{3}{3} \int \sin (u) d u$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{3} \int \sin (u) d u$

Etapa 7.2.2

Reescreva a expressão.

$1 \int \sin (u) d u$

Etapa 7.3

Multiplique $\int \sin (u) d u$ por $1$ .

$\int \sin (u) d u$

Etapa 8

A integral de $\sin (u)$ com relação a $u$ é $- \cos (u)$ .

$- \cos (u) + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3} + 2003$ .

$- \cos (x^{3} + 2003) + C$

Etapa 10

A resposta é a primitiva da função $f (x) = 3 x^{2} \sin (x^{3} + 2003)$ .

$F (x) =$ $- \cos (x^{3} + 2003) + C$