Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{π} \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 1 + \cos (x)$ . Depois, $d u = - \sin (x) d x$ , então, $- d u = \sin (x) d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 1 + \cos (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $1 + \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.1.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$0 - \sin (x)$

Etapa 1.1.4

Subtraia $\sin (x)$ de $0$ .

$- \sin (x)$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 1 + \cos (x)$ .

$u_{lower} = 1 + \cos (0)$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$u_{lower} = 1 + 1$

Etapa 1.3.2

Some $1$ e $1$ .

$u_{lower} = 2$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 1 + \cos (x)$ .

$u_{upper} = 1 + \cos (π)$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$u_{upper} = 1 - \cos (0)$

Etapa 1.5.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

Etapa 1.5.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Etapa 1.5.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$u_{upper} = 0$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 0$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{2}^{0} \frac{- 1}{u} d u$

Etapa 2

Divida a fração em diversas frações.

$\int_{2}^{0} - \frac{1}{u} d u$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{2}^{0} \frac{1}{u} d u$

Etapa 4

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |)]_{2}^{0})$

Etapa 5

Avalie $\ln (| u |)$ em $0$ e em $2$ .

$- (\ln (| 0 |) - \ln (| 2 |))$

Etapa 6

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| 0 |}{| 2 |})$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $0$ é $0$ .

$- \ln (\frac{0}{| 2 |})$

Etapa 7.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$- \ln (\frac{0}{2})$

Etapa 7.3

Divida $0$ por $2$ .

$- \ln (0)$

Etapa 7.4

O logaritmo natural de zero é indefinido.

Indefinido

$- \ln (0)$

Etapa 8

O logaritmo natural de zero é indefinido.

Indefinido