Cálculo Exemplos

$y = x^{2} - 5$ e $y = 4$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$x^{2} - 5 = 4$

Etapa 1.2

Resolva $x^{2} - 5 = 4$ para $x$ .

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Etapa 1.2.1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.2.1.1

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 4 + 5$

Etapa 1.2.1.2

Some $4$ e $5$ .

$x^{2} = 9$

Etapa 1.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{9}$

Etapa 1.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{9}$ .

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Etapa 1.2.3.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Etapa 1.2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 3$

Etapa 1.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 3$

Etapa 1.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 3$

Etapa 1.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 3, - 3$

Etapa 1.3

Substitua $3$ por $x$ .

$y = 4$

Etapa 1.4

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(3, 4)$

$(- 3, 4)$

$(3, 4)$

$(- 3, 4)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 3}^{3} 4 d x - \int_{- 3}^{3} x^{2} - 5 d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $- 3$ e $3$ .

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Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 3}^{3} 4 - (x^{2} - 5) d x$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 - x^{2} - - 5$

Etapa 3.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$4 - x^{2} + 5$

$\int_{- 3}^{3} 4 - x^{2} + 5 d x$

Etapa 3.3

Some $4$ e $5$ .

$\int_{- 3}^{3} - x^{2} + 9 d x$

Etapa 3.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 3}^{3} - x^{2} d x + \int_{- 3}^{3} 9 d x$

Etapa 3.5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{- 3}^{3} x^{2} d x + \int_{- 3}^{3} 9 d x$

Etapa 3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{3}) + \int_{- 3}^{3} 9 d x$

Etapa 3.7

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}) + \int_{- 3}^{3} 9 d x$

Etapa 3.8

Aplique a regra da constante.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}) + 9 x]_{- 3}^{3}$

Etapa 3.9

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.9.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $3$ e em $- 3$ .

$- ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 9 x]_{- 3}^{3}$

Etapa 3.9.2

Avalie $9 x$ em $3$ e em $- 3$ .

$- (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Etapa 3.9.3

Simplifique.

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Etapa 3.9.3.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$- (\frac{27}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Etapa 3.9.3.2

Cancele o fator comum de $27$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.3.2.1

Fatore $3$ de $27$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Etapa 3.9.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.3.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Etapa 3.9.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Etapa 3.9.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$- (\frac{9}{1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Etapa 3.9.3.2.2.4

Divida $9$ por $1$ .

$- (9 - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Etapa 3.9.3.3

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$- (9 - \frac{- 27}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Etapa 3.9.3.4

Cancele o fator comum de $- 27$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.3.4.1

Fatore $3$ de $- 27$ .

$- (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Etapa 3.9.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.3.4.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$- (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Etapa 3.9.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$- (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Etapa 3.9.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$- (9 - \frac{- 9}{1}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Etapa 3.9.3.4.2.4

Divida $- 9$ por $1$ .

$- (9 - - 9) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Etapa 3.9.3.5

Multiplique $- 1$ por $- 9$ .

$- (9 + 9) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Etapa 3.9.3.6

Some $9$ e $9$ .

$- 1 \cdot 18 + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Etapa 3.9.3.7

Multiplique $- 1$ por $18$ .

$- 18 + 9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3$

Etapa 3.9.3.8

Multiplique $9$ por $3$ .

$- 18 + 27 - 9 \cdot - 3$

Etapa 3.9.3.9

Multiplique $- 9$ por $- 3$ .

$- 18 + 27 + 27$

Etapa 3.9.3.10

Some $27$ e $27$ .

$- 18 + 54$

Etapa 3.9.3.11

Some $- 18$ e $54$ .

$36$

Etapa 4