Cálculo Exemplos

$\sum_{k = 1}^{20} 100 (k^{2} - 5 k + 1)$

Etapa 1

Simplifique a soma.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$100 k^{2} + 100 (- 5 k) + 100 \cdot 1$

Etapa 1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Multiplique $- 5$ por $100$ .

$100 k^{2} - 500 k + 100 \cdot 1$

Etapa 1.2.2

Multiplique $100$ por $1$ .

$100 k^{2} - 500 k + 100$

Etapa 1.3

Reescreva a soma.

$\sum_{k = 1}^{20} 100 k^{2} - 500 k + 100$

Etapa 2

Divida a soma em somas menores que se enquadrem nas regras da soma.

$\sum_{k = 1}^{20} 100 k^{2} - 500 k + 100 = 100 \sum_{k = 1}^{20} k^{2} - 500 \sum_{k = 1}^{20} k + \sum_{k = 1}^{20} 100$

Etapa 3

Avalie $100 \sum_{k = 1}^{20} k^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

A fórmula da soma de um polinômio com grau $2$ é:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Etapa 3.2

Substitua os valores na fórmula e multiplique pelo termo da frente.

$(100) (\frac{20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{6})$

Etapa 3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Some $20$ e $1$ .

$100 \frac{20 \cdot 21 (2 \cdot 20 + 1)}{6}$

Etapa 3.3.1.2

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.2.1

Multiplique $20$ por $21$ .

$100 \frac{420 (2 \cdot 20 + 1)}{6}$

Etapa 3.3.1.2.2

Multiplique $2$ por $20$ .

$100 \frac{420 (40 + 1)}{6}$

Etapa 3.3.1.3

Some $40$ e $1$ .

$100 \frac{420 \cdot 41}{6}$

Etapa 3.3.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Multiplique $420$ por $41$ .

$100 (\frac{17220}{6})$

Etapa 3.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Fatore $2$ de $100$ .

$2 (50) \frac{17220}{6}$

Etapa 3.3.2.2.2

Fatore $2$ de $6$ .

$2 \cdot 50 \frac{17220}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.3.2.2.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 50 \frac{17220}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.3.2.2.4

Reescreva a expressão.

$50 (\frac{17220}{3})$

Etapa 3.3.2.3

Combine $50$ e $\frac{17220}{3}$ .

$\frac{50 \cdot 17220}{3}$

Etapa 3.3.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.4.1

Multiplique $50$ por $17220$ .

$\frac{861000}{3}$

Etapa 3.3.2.4.2

Divida $861000$ por $3$ .

$287000$

Etapa 4

Avalie $500 \sum_{k = 1}^{20} k$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

A fórmula da soma de um polinômio com grau $1$ é:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Etapa 4.2

Substitua os valores na fórmula e multiplique pelo termo da frente.

$(- 500) (\frac{20 (20 + 1)}{2})$

Etapa 4.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1

Some $20$ e $1$ .

$- 500 \frac{20 \cdot 21}{2}$

Etapa 4.3.1.2

Multiplique $20$ por $21$ .

$- 500 (\frac{420}{2})$

Etapa 4.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Fatore $2$ de $- 500$ .

$2 (- 250) \frac{420}{2}$

Etapa 4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 250 \frac{420}{2}$

Etapa 4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- 250 \cdot 420$

Etapa 4.3.3

Multiplique $- 250$ por $420$ .

$- 105000$

Etapa 5

Avalie $\sum_{k = 1}^{20} 100$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

A fórmula da soma de uma constante é:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Etapa 5.2

Substitua os valores na fórmula.

$(100) (20)$

Etapa 5.3

Multiplique $100$ por $20$ .

$2000$

Etapa 6

Adicione os resultados das somas.

$287000 - 105000 + 2000$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Subtraia $105000$ de $287000$ .

$182000 + 2000$

Etapa 7.2

Some $182000$ e $2000$ .

$184000$