Cálculo Exemplos

$e^{2 x} + \frac{1}{x + 1}$

Etapa 1

Escreva $e^{2 x} + \frac{1}{x + 1}$ como uma função.

$f (x) = e^{2 x} + \frac{1}{x + 1}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int e^{2 x} + \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int e^{2 x} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 5

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Depois, $d u_{1} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 5.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 5.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 6

Combine $e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 8

A integral de $e^{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 9

Deixe $u_{2} = x + 1$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Deixe $u_{2} = x + 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 9.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 9.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 9.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 9.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 9.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 10

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 11

Simplifique.

$\frac{1}{2} e^{u_{1}} + \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 12

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$\frac{1}{2} e^{2 x} + \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 12.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x + 1$ .

$\frac{1}{2} e^{2 x} + \ln (| x + 1 |) + C$

Etapa 13

A resposta é a primitiva da função $f (x) = e^{2 x} + \frac{1}{x + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} + \ln (| x + 1 |) + C$