Cálculo Exemplos

$S = \frac{\sqrt{h w}}{60}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{h w}$ como ${(h w)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d w} [\frac{{(h w)}^{\frac{1}{2}}}{60}]$

Etapa 1.2

Como $\frac{1}{60}$ é constante em relação a $w$ , a derivada de $\frac{{(h w)}^{\frac{1}{2}}}{60}$ em relação a $w$ é $\frac{1}{60} \frac{d}{d w} [{(h w)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{60} \frac{d}{d w} [{(h w)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ é $f' (g (w)) g' (w)$ , em que $f (w) = w^{\frac{1}{2}}$ e $g (w) = h w$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $h w$ .

$\frac{1}{60} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d w} [h w])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d w} [h w])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $h w$ .

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} {(h w)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d w} [h w])$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} {(h w)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d w} [h w])$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} {(h w)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d w} [h w])$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} {(h w)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d w} [h w])$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} {(h w)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d w} [h w])$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} {(h w)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d w} [h w])$

Etapa 7

Combine frações.

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Etapa 7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} {(h w)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d w} [h w])$

Etapa 7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(h w)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{60} (\frac{{(h w)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d w} [h w])$

Etapa 7.3

Mova ${(h w)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2 {(h w)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d w} [h w])$

Etapa 7.4

Multiplique $\frac{1}{2 {(h w)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{60}$ .

$\frac{1}{2 {(h w)}^{\frac{1}{2}} \cdot 60} \frac{d}{d w} [h w]$

Etapa 7.5

Multiplique $60$ por $2$ .

$\frac{1}{120 {(h w)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d w} [h w]$

Etapa 8

Como $h$ é constante em relação a $w$ , a derivada de $h w$ em relação a $w$ é $h \frac{d}{d w} [w]$ .

$\frac{1}{120 {(h w)}^{\frac{1}{2}}} (h \frac{d}{d w} [w])$

Etapa 9

Combine $h$ e $\frac{1}{120 {(h w)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{h}{120 {(h w)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d w} [w]$

Etapa 10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ é $n w^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{h}{120 {(h w)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Etapa 11

Multiplique $\frac{h}{120 {(h w)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{h}{120 {(h w)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Aplique a regra do produto a $h w$ .

$\frac{h}{120 (h^{\frac{1}{2}} w^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 12.2

Combine os termos.

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Etapa 12.2.1

Mova $h^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{h \cdot h^{- \frac{1}{2}}}{120 w^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.2.2

Multiplique $h$ por $h^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 12.2.2.1

Multiplique $h$ por $h^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 12.2.2.1.1

Eleve $h$ à potência de $1$ .

$\frac{h^{1} h^{- \frac{1}{2}}}{120 w^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.2.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{h^{1 - \frac{1}{2}}}{120 w^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.2.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{h^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{120 w^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{h^{\frac{2 - 1}{2}}}{120 w^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.2.2.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{h^{\frac{1}{2}}}{120 w^{\frac{1}{2}}}$