Cálculo Exemplos

$lim_{n \to - 5} \frac{\frac{2}{n + 3} - \frac{3}{n + 2}}{n + 5}$

Etapa 1

Combine os termos.

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Etapa 1.1

Para escrever $\frac{2}{n + 3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{n + 2}{n + 2}$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{\frac{2}{n + 3} \cdot \frac{n + 2}{n + 2} - \frac{3}{n + 2}}{n + 5}$

Etapa 1.2

Para escrever $- \frac{3}{n + 2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{n + 3}{n + 3}$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{\frac{2}{n + 3} \cdot \frac{n + 2}{n + 2} - \frac{3}{n + 2} \cdot \frac{n + 3}{n + 3}}{n + 5}$

Etapa 1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(n + 3) (n + 2)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.3.1

Multiplique $\frac{2}{n + 3}$ por $\frac{n + 2}{n + 2}$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{\frac{2 (n + 2)}{(n + 3) (n + 2)} - \frac{3}{n + 2} \cdot \frac{n + 3}{n + 3}}{n + 5}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $\frac{3}{n + 2}$ por $\frac{n + 3}{n + 3}$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{\frac{2 (n + 2)}{(n + 3) (n + 2)} - \frac{3 (n + 3)}{(n + 2) (n + 3)}}{n + 5}$

Etapa 1.3.3

Reordene os fatores de $(n + 3) (n + 2)$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{\frac{2 (n + 2)}{(n + 2) (n + 3)} - \frac{3 (n + 3)}{(n + 2) (n + 3)}}{n + 5}$

Etapa 1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{n \to - 5} \frac{\frac{2 (n + 2) - 3 (n + 3)}{(n + 2) (n + 3)}}{n + 5}$

Etapa 2

Simplifique o argumento do limite.

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Etapa 2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{n \to - 5} \frac{2 (n + 2) - 3 (n + 3)}{(n + 2) (n + 3)} \cdot \frac{1}{n + 5}$

Etapa 2.2

Multiplique $\frac{2 (n + 2) - 3 (n + 3)}{(n + 2) (n + 3)}$ por $\frac{1}{n + 5}$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{2 (n + 2) - 3 (n + 3)}{(n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{n \to - 5} 2 (n + 2) - 3 (n + 3)}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

Etapa 3.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 3.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $- 5$ .

$\frac{lim_{n \to - 5} 2 (n + 2) - lim_{n \to - 5} 3 (n + 3)}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

Etapa 3.1.2.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $n$ .

$\frac{2 lim_{n \to - 5} n + 2 - lim_{n \to - 5} 3 (n + 3)}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

Etapa 3.1.2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $- 5$ .

$\frac{2 (lim_{n \to - 5} n + lim_{n \to - 5} 2) - lim_{n \to - 5} 3 (n + 3)}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

Etapa 3.1.2.4

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $n$ se aproxima de $- 5$ .

$\frac{2 (lim_{n \to - 5} n + 2) - lim_{n \to - 5} 3 (n + 3)}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

Etapa 3.1.2.5

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $n$ .

$\frac{2 (lim_{n \to - 5} n + 2) - 3 lim_{n \to - 5} n + 3}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

Etapa 3.1.2.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $- 5$ .

$\frac{2 (lim_{n \to - 5} n + 2) - 3 (lim_{n \to - 5} n + lim_{n \to - 5} 3)}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

Etapa 3.1.2.7

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $n$ se aproxima de $- 5$ .

$\frac{2 (lim_{n \to - 5} n + 2) - 3 (lim_{n \to - 5} n + 3)}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

Etapa 3.1.2.8

Avalie os limites substituindo $- 5$ por todas as ocorrências de $n$ .

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Etapa 3.1.2.8.1

Avalie o limite de $n$ substituindo $- 5$ por $n$ .

$\frac{2 (- 5 + 2) - 3 (lim_{n \to - 5} n + 3)}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

Etapa 3.1.2.8.2

Avalie o limite de $n$ substituindo $- 5$ por $n$ .

$\frac{2 (- 5 + 2) - 3 (- 5 + 3)}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

Etapa 3.1.2.9

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.2.9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.2.9.1.1

Some $- 5$ e $2$ .

$\frac{2 \cdot - 3 - 3 (- 5 + 3)}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

Etapa 3.1.2.9.1.2

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$\frac{- 6 - 3 (- 5 + 3)}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

Etapa 3.1.2.9.1.3

Some $- 5$ e $3$ .

$\frac{- 6 - 3 \cdot - 2}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

Etapa 3.1.2.9.1.4

Multiplique $- 3$ por $- 2$ .

$\frac{- 6 + 6}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

Etapa 3.1.2.9.2

Some $- 6$ e $6$ .

$\frac{0}{lim_{n \to - 5} (n + 2) (n + 3) (n + 5)}$

Etapa 3.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 3.1.3.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $- 5$ .

$\frac{0}{lim_{n \to - 5} n + 2 \cdot lim_{n \to - 5} n + 3 \cdot lim_{n \to - 5} n + 5}$

Etapa 3.1.3.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $- 5$ .

$\frac{0}{(lim_{n \to - 5} n + lim_{n \to - 5} 2) \cdot lim_{n \to - 5} n + 3 \cdot lim_{n \to - 5} n + 5}$

Etapa 3.1.3.3

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $n$ se aproxima de $- 5$ .

$\frac{0}{(lim_{n \to - 5} n + 2) \cdot lim_{n \to - 5} n + 3 \cdot lim_{n \to - 5} n + 5}$

Etapa 3.1.3.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $- 5$ .

$\frac{0}{(lim_{n \to - 5} n + 2) \cdot (lim_{n \to - 5} n + lim_{n \to - 5} 3) \cdot lim_{n \to - 5} n + 5}$

Etapa 3.1.3.5

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $n$ se aproxima de $- 5$ .

$\frac{0}{(lim_{n \to - 5} n + 2) \cdot (lim_{n \to - 5} n + 3) \cdot lim_{n \to - 5} n + 5}$

Etapa 3.1.3.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $- 5$ .

$\frac{0}{(lim_{n \to - 5} n + 2) \cdot (lim_{n \to - 5} n + 3) \cdot (lim_{n \to - 5} n + lim_{n \to - 5} 5)}$

Etapa 3.1.3.7

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $n$ se aproxima de $- 5$ .

$\frac{0}{(lim_{n \to - 5} n + 2) \cdot (lim_{n \to - 5} n + 3) \cdot (lim_{n \to - 5} n + 5)}$

Etapa 3.1.3.8

Avalie os limites substituindo $- 5$ por todas as ocorrências de $n$ .

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Etapa 3.1.3.8.1

Avalie o limite de $n$ substituindo $- 5$ por $n$ .

$\frac{0}{(- 5 + 2) \cdot (lim_{n \to - 5} n + 3) \cdot (lim_{n \to - 5} n + 5)}$

Etapa 3.1.3.8.2

Avalie o limite de $n$ substituindo $- 5$ por $n$ .

$\frac{0}{(- 5 + 2) \cdot (- 5 + 3) \cdot (lim_{n \to - 5} n + 5)}$

Etapa 3.1.3.8.3

Avalie o limite de $n$ substituindo $- 5$ por $n$ .

$\frac{0}{(- 5 + 2) \cdot (- 5 + 3) \cdot (- 5 + 5)}$

Etapa 3.1.3.9

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.3.9.1

Some $- 5$ e $2$ .

$\frac{0}{- 3 \cdot (- 5 + 3) \cdot (- 5 + 5)}$

Etapa 3.1.3.9.2

Some $- 5$ e $3$ .

$\frac{0}{- 3 \cdot - 2 \cdot (- 5 + 5)}$

Etapa 3.1.3.9.3

Multiplique $- 3$ por $- 2$ .

$\frac{0}{6 \cdot (- 5 + 5)}$

Etapa 3.1.3.9.4

Some $- 5$ e $5$ .

$\frac{0}{6 \cdot 0}$

Etapa 3.1.3.9.5

Multiplique $6$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.9.6

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.10

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{n \to - 5} \frac{2 (n + 2) - 3 (n + 3)}{(n + 2) (n + 3) (n + 5)} = lim_{n \to - 5} \frac{\frac{d}{d n} [2 (n + 2) - 3 (n + 3)]}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{n \to - 5} \frac{\frac{d}{d n} [2 (n + 2) - 3 (n + 3)]}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 (n + 2) - 3 (n + 3)$ com relação a $n$ é $\frac{d}{d n} [2 (n + 2)] + \frac{d}{d n} [- 3 (n + 3)]$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{\frac{d}{d n} [2 (n + 2)] + \frac{d}{d n} [- 3 (n + 3)]}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

Etapa 3.3.3

Avalie $\frac{d}{d n} [2 (n + 2)]$ .

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Etapa 3.3.3.1

Como $2$ é constante em relação a $n$ , a derivada de $2 (n + 2)$ em relação a $n$ é $2 \frac{d}{d n} [n + 2]$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{2 \frac{d}{d n} [n + 2] + \frac{d}{d n} [- 3 (n + 3)]}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

Etapa 3.3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $n + 2$ com relação a $n$ é $\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [2]$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{2 (\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [2]) + \frac{d}{d n} [- 3 (n + 3)]}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

Etapa 3.3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ é $n \cdot n^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{2 (1 + \frac{d}{d n} [2]) + \frac{d}{d n} [- 3 (n + 3)]}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

Etapa 3.3.3.4

Como $2$ é constante em relação a $n$ , a derivada de $2$ em relação a $n$ é $0$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{2 (1 + 0) + \frac{d}{d n} [- 3 (n + 3)]}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

Etapa 3.3.3.5

Some $1$ e $0$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d n} [- 3 (n + 3)]}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

Etapa 3.3.3.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{2 + \frac{d}{d n} [- 3 (n + 3)]}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

Etapa 3.3.4

Avalie $\frac{d}{d n} [- 3 (n + 3)]$ .

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Etapa 3.3.4.1

Como $- 3$ é constante em relação a $n$ , a derivada de $- 3 (n + 3)$ em relação a $n$ é $- 3 \frac{d}{d n} [n + 3]$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{2 - 3 \frac{d}{d n} [n + 3]}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

Etapa 3.3.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $n + 3$ com relação a $n$ é $\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [3]$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{2 - 3 (\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [3])}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

Etapa 3.3.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ é $n \cdot n^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{2 - 3 (1 + \frac{d}{d n} [3])}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

Etapa 3.3.4.4

Como $3$ é constante em relação a $n$ , a derivada de $3$ em relação a $n$ é $0$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{2 - 3 (1 + 0)}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

Etapa 3.3.4.5

Some $1$ e $0$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{2 - 3 \cdot 1}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

Etapa 3.3.4.6

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{2 - 3}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

Etapa 3.3.5

Subtraia $3$ de $2$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{\frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3) (n + 5)]}$

Etapa 3.3.6

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d n} [f (n) g (n)]$ é $f (n) \frac{d}{d n} [g (n)] + g (n) \frac{d}{d n} [f (n)]$ , em que $f (n) = (n + 2) (n + 3)$ e $g (n) = n + 5$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) \frac{d}{d n} [n + 5] + (n + 5) \frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3)]}$

Etapa 3.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $n + 5$ com relação a $n$ é $\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [5]$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) (\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [5]) + (n + 5) \frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3)]}$

Etapa 3.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ é $n \cdot n^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) (1 + \frac{d}{d n} [5]) + (n + 5) \frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3)]}$

Etapa 3.3.9

Como $5$ é constante em relação a $n$ , a derivada de $5$ em relação a $n$ é $0$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) (1 + 0) + (n + 5) \frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3)]}$

Etapa 3.3.10

Some $1$ e $0$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) \cdot 1 + (n + 5) \frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3)]}$

Etapa 3.3.11

Multiplique $n + 2$ por $1$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) \frac{d}{d n} [(n + 2) (n + 3)]}$

Etapa 3.3.12

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d n} [f (n) g (n)]$ é $f (n) \frac{d}{d n} [g (n)] + g (n) \frac{d}{d n} [f (n)]$ , em que $f (n) = n + 2$ e $g (n) = n + 3$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) ((n + 2) \frac{d}{d n} [n + 3] + (n + 3) \frac{d}{d n} [n + 2])}$

Etapa 3.3.13

De acordo com a regra da soma, a derivada de $n + 3$ com relação a $n$ é $\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [3]$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) ((n + 2) (\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [3]) + (n + 3) \frac{d}{d n} [n + 2])}$

Etapa 3.3.14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ é $n \cdot n^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) ((n + 2) (1 + \frac{d}{d n} [3]) + (n + 3) \frac{d}{d n} [n + 2])}$

Etapa 3.3.15

Como $3$ é constante em relação a $n$ , a derivada de $3$ em relação a $n$ é $0$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) ((n + 2) (1 + 0) + (n + 3) \frac{d}{d n} [n + 2])}$

Etapa 3.3.16

Some $1$ e $0$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) ((n + 2) \cdot 1 + (n + 3) \frac{d}{d n} [n + 2])}$

Etapa 3.3.17

Multiplique $n + 2$ por $1$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) (n + 2 + (n + 3) \frac{d}{d n} [n + 2])}$

Etapa 3.3.18

De acordo com a regra da soma, a derivada de $n + 2$ com relação a $n$ é $\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [2]$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) (n + 2 + (n + 3) (\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [2]))}$

Etapa 3.3.19

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ é $n \cdot n^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) (n + 2 + (n + 3) (1 + \frac{d}{d n} [2]))}$

Etapa 3.3.20

Como $2$ é constante em relação a $n$ , a derivada de $2$ em relação a $n$ é $0$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) (n + 2 + (n + 3) (1 + 0))}$

Etapa 3.3.21

Some $1$ e $0$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) (n + 2 + (n + 3) \cdot 1)}$

Etapa 3.3.22

Multiplique $n + 3$ por $1$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) (n + 2 + n + 3)}$

Etapa 3.3.23

Some $n$ e $n$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) (2 n + 2 + 3)}$

Etapa 3.3.24

Some $2$ e $3$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) (n + 3) + (n + 5) (2 n + 5)}$

Etapa 3.3.25

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.25.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{(n + 2) n + (n + 2) \cdot 3 + (n + 5) (2 n + 5)}$

Etapa 3.3.25.2

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n \cdot n + 2 n + (n + 2) \cdot 3 + (n + 5) (2 n + 5)}$

Etapa 3.3.25.3

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n \cdot n + 2 n + n \cdot 3 + 2 \cdot 3 + (n + 5) (2 n + 5)}$

Etapa 3.3.25.4

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n \cdot n + 2 n + n \cdot 3 + 2 \cdot 3 + (n + 5) (2 n) + (n + 5) \cdot 5}$

Etapa 3.3.25.5

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n \cdot n + 2 n + n \cdot 3 + 2 \cdot 3 + n (2 n) + 5 (2 n) + (n + 5) \cdot 5}$

Etapa 3.3.25.6

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n \cdot n + 2 n + n \cdot 3 + 2 \cdot 3 + n (2 n) + 5 (2 n) + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

Etapa 3.3.25.7

Combine os termos.

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Etapa 3.3.25.7.1

Eleve $n$ à potência de $1$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{1} n + 2 n + n \cdot 3 + 2 \cdot 3 + n (2 n) + 5 (2 n) + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

Etapa 3.3.25.7.2

Eleve $n$ à potência de $1$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{1} n^{1} + 2 n + n \cdot 3 + 2 \cdot 3 + n (2 n) + 5 (2 n) + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

Etapa 3.3.25.7.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{1 + 1} + 2 n + n \cdot 3 + 2 \cdot 3 + n (2 n) + 5 (2 n) + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

Etapa 3.3.25.7.4

Some $1$ e $1$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{2} + 2 n + n \cdot 3 + 2 \cdot 3 + n (2 n) + 5 (2 n) + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

Etapa 3.3.25.7.5

Mova $3$ para a esquerda de $n$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{2} + 2 n + 3 \cdot n + 2 \cdot 3 + n (2 n) + 5 (2 n) + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

Etapa 3.3.25.7.6

Multiplique $2$ por $3$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{2} + 2 n + 3 n + 6 + n (2 n) + 5 (2 n) + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

Etapa 3.3.25.7.7

Some $2 n$ e $3 n$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{2} + 5 n + 6 + n (2 n) + 5 (2 n) + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

Etapa 3.3.25.7.8

Eleve $n$ à potência de $1$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{2} + 5 n + 6 + 2 (n^{1} n) + 5 (2 n) + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

Etapa 3.3.25.7.9

Eleve $n$ à potência de $1$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{2} + 5 n + 6 + 2 (n^{1} n^{1}) + 5 (2 n) + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

Etapa 3.3.25.7.10

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{2} + 5 n + 6 + 2 n^{1 + 1} + 5 (2 n) + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

Etapa 3.3.25.7.11

Some $1$ e $1$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{2} + 5 n + 6 + 2 n^{2} + 5 (2 n) + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

Etapa 3.3.25.7.12

Multiplique $2$ por $5$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{2} + 5 n + 6 + 2 n^{2} + 10 n + n \cdot 5 + 5 \cdot 5}$

Etapa 3.3.25.7.13

Mova $5$ para a esquerda de $n$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{2} + 5 n + 6 + 2 n^{2} + 10 n + 5 \cdot n + 5 \cdot 5}$

Etapa 3.3.25.7.14

Multiplique $5$ por $5$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{2} + 5 n + 6 + 2 n^{2} + 10 n + 5 n + 25}$

Etapa 3.3.25.7.15

Some $10 n$ e $5 n$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{n^{2} + 5 n + 6 + 2 n^{2} + 15 n + 25}$

Etapa 3.3.25.7.16

Some $n^{2}$ e $2 n^{2}$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{3 n^{2} + 5 n + 6 + 15 n + 25}$

Etapa 3.3.25.7.17

Some $5 n$ e $15 n$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{3 n^{2} + 20 n + 6 + 25}$

Etapa 3.3.25.7.18

Some $6$ e $25$ .

$lim_{n \to - 5} \frac{- 1}{3 n^{2} + 20 n + 31}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $- 5$ .

$\frac{lim_{n \to - 5} - 1}{lim_{n \to - 5} 3 n^{2} + 20 n + 31}$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $- 1$ , que é constante à medida que $n$ se aproxima de $- 5$ .

$\frac{- 1}{lim_{n \to - 5} 3 n^{2} + 20 n + 31}$

Etapa 4.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $- 5$ .

$\frac{- 1}{lim_{n \to - 5} 3 n^{2} + lim_{n \to - 5} 20 n + lim_{n \to - 5} 31}$

Etapa 4.4

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $n$ .

$\frac{- 1}{3 lim_{n \to - 5} n^{2} + lim_{n \to - 5} 20 n + lim_{n \to - 5} 31}$

Etapa 4.5

Mova o expoente $2$ de $n^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{- 1}{3 {(lim_{n \to - 5} n)}^{2} + lim_{n \to - 5} 20 n + lim_{n \to - 5} 31}$

Etapa 4.6

Mova o termo $20$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $n$ .

$\frac{- 1}{3 {(lim_{n \to - 5} n)}^{2} + 20 lim_{n \to - 5} n + lim_{n \to - 5} 31}$

Etapa 4.7

Avalie o limite de $31$ , que é constante à medida que $n$ se aproxima de $- 5$ .

$\frac{- 1}{3 {(lim_{n \to - 5} n)}^{2} + 20 lim_{n \to - 5} n + 31}$

Etapa 5

Avalie os limites substituindo $- 5$ por todas as ocorrências de $n$ .

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Etapa 5.1

Avalie o limite de $n$ substituindo $- 5$ por $n$ .

$\frac{- 1}{3 {(- 5)}^{2} + 20 lim_{n \to - 5} n + 31}$

Etapa 5.2

Avalie o limite de $n$ substituindo $- 5$ por $n$ .

$\frac{- 1}{3 {(- 5)}^{2} + 20 \cdot - 5 + 31}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$\frac{- 1}{3 \cdot 25 + 20 \cdot - 5 + 31}$

Etapa 6.1.2

Multiplique $3$ por $25$ .

$\frac{- 1}{75 + 20 \cdot - 5 + 31}$

Etapa 6.1.3

Multiplique $20$ por $- 5$ .

$\frac{- 1}{75 - 100 + 31}$

Etapa 6.1.4

Subtraia $100$ de $75$ .

$\frac{- 1}{- 25 + 31}$

Etapa 6.1.5

Some $- 25$ e $31$ .

$\frac{- 1}{6}$

Etapa 6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{6}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{1}{6}$

Forma decimal:

$- 0.1\overline{6}$