Cálculo Exemplos

$\int \frac{20 x}{\sqrt[3]{7 - 3 x^{2}}} d x$

Etapa 1

Como $20$ é constante com relação a $x$ , mova $20$ para fora da integral.

$20 \int \frac{x}{\sqrt[3]{7 - 3 x^{2}}} d x$

Etapa 2

Deixe $u = 7 - 3 x^{2}$ . Depois, $d u = - 6 x d x$ , então, $- \frac{1}{6} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 7 - 3 x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $7 - 3 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [7 - 3 x^{2}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 - 3 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Etapa 2.1.2.2

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - 3 (2 x)$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$0 - 6 x$

Etapa 2.1.4

Subtraia $6 x$ de $0$ .

$- 6 x$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$20 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{- 6} d u$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$20 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} (- \frac{1}{6}) d u$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{1}{\sqrt[3]{u}}$ por $\frac{1}{6}$ .

$20 \int - \frac{1}{\sqrt[3]{u} \cdot 6} d u$

Etapa 3.3

Mova $6$ para a esquerda de $\sqrt[3]{u}$ .

$20 \int - \frac{1}{6 \sqrt[3]{u}} d u$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$20 (- \int \frac{1}{6 \sqrt[3]{u}} d u)$

Etapa 5

Multiplique $- 1$ por $20$ .

$- 20 \int \frac{1}{6 \sqrt[3]{u}} d u$

Etapa 6

Como $\frac{1}{6}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{6}$ para fora da integral.

$- 20 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u)$

Etapa 7

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Combine $\frac{1}{6}$ e $- 20$ .

$\frac{- 20}{6} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Etapa 7.1.2

Cancele o fator comum de $- 20$ e $6$ .

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Etapa 7.1.2.1

Fatore $2$ de $- 20$ .

$\frac{2 (- 10)}{6} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Etapa 7.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.1.2.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot - 10}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Etapa 7.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot - 10}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Etapa 7.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 10}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Etapa 7.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{10}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Etapa 7.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 7.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{u}$ como $u^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{10}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Etapa 7.2.2

Mova $u^{\frac{1}{3}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- \frac{10}{3} \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Etapa 7.2.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Etapa 7.2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{10}{3} \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Etapa 7.2.3.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$- \frac{10}{3} \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Etapa 7.2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{10}{3} \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{3}}$ com relação a $u$ é $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{10}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Reescreva $- \frac{10}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ como $- \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ .

$- \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Etapa 9.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $\frac{10}{3}$ .

$- \frac{3 \cdot 10}{2 \cdot 3} u^{\frac{2}{3}} + C$

Etapa 9.2.2

Multiplique $3$ por $10$ .

$- \frac{30}{2 \cdot 3} u^{\frac{2}{3}} + C$

Etapa 9.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$- \frac{30}{6} u^{\frac{2}{3}} + C$

Etapa 9.2.4

Cancele o fator comum de $30$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.4.1

Fatore $6$ de $30$ .

$- \frac{6 \cdot 5}{6} u^{\frac{2}{3}} + C$

Etapa 9.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.4.2.1

Fatore $6$ de $6$ .

$- \frac{6 \cdot 5}{6 (1)} u^{\frac{2}{3}} + C$

Etapa 9.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{6 \cdot 5}{6 \cdot 1} u^{\frac{2}{3}} + C$

Etapa 9.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{5}{1} u^{\frac{2}{3}} + C$

Etapa 9.2.4.2.4

Divida $5$ por $1$ .

$- 1 \cdot 5 u^{\frac{2}{3}} + C$

Etapa 9.2.5

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$- 5 u^{\frac{2}{3}} + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $7 - 3 x^{2}$ .

$- 5 {(7 - 3 x^{2})}^{\frac{2}{3}} + C$